Итак, перед нами открываются панорамы нового, более полного, учения о количестве, в котором количество активно взаимодействует с качеством в рамках разного рода неаддитивных арифметик. Главная задача состоит теперь в том, чтобы постепенно доводить эту новую философию числа до все более операциональных определений, выстраивая контуры новой математики меры.

Далее я представлю некоторые возможности такого более операционального подхода.

Начнем со стандартного натурального ряда, поскольку без него мы не сможем выразить и нестандартные числовые конструкции. Но если современная математика во многом останавливается на определениях этого ряда, то мы постараемся продвинуться дальше.

Как было сказано выше, вместе с данностью натурального ряда 1,2,3,… могут быть даны субаддитивный ряд 1^-,2^-,3^-,… и сверхаддитивный ряд 1⁺,2⁺,3⁺,… Субаддитивный ряд заканчивается в некотором конечном элементе М стандартного ряда, умещая все свое бесконечное число элементов в конечном отрезке [0,М]. Это значит, что последовательность 1^-,2^-,3^-,… дана как сходящаяся последовательность, имеющая своим пределом число М. В конечном итоге это завтавляет нас погрузить стандартный натуральный ряд в множество вещественных чисел. Тогда, как отмечалось выше, мы можем ввести два вещественных отображения:

1) Отображение R⁺¹_M: [0,M)®[0,+¥), которое сопоставляет полуинтервалу [0,M), где содержится субаддитивный натуральный ряд 1^-,2^-,3^-,…, полуинтервал [0,+¥), содержащий стандартный натуральный ряд.

2) Обратное отображение R^-1_M: [0,+¥)®[0,М).

Потребуем, чтобы отображения R^±1_M были изоморфизмами для выполнения свойств групповых операций, как это было отмечено выше.

Используя эти отображения, мы могли бы выразить отношения стандартного натурального ряда и сверхаддитивного ряда. Сверхаддитивный ряд таков, что он за конечное число шагов М достигает бесконечности натурального ряда. Такое отношение двух рядов можно моделировать отношением стандартного и субаддитивного ряда, но теперь представляя субаддитивный ряд как стандартный, а стандартный – как сверхаддитивный ряд. М шагов сверхаддитивного ряда лягут поверх делений стандартного ряда как М шагов делений стандартного ряда кладутся поверх делений субаддитивного ряда. Для того чтобы выразить эти деления в системе представления стандартного натурального ряда, когда он будет уходить  бесконечность, мы можем подействовать прямым отображением R⁺¹_M на числа 1,2,…,М. Полученные величины R⁺¹_M(1),R⁺¹_M(2),…,R⁺¹_M(М)=¥ будут за М шагов достигать бесконечности, представляя сверхаддитивный ряд, его режим размыкания, в системе представления стандартного натурального ряда.

Так более операционально могут начать строиться первые определения мерной математики. Центральную роль, как мы видим, в этих построениях играют отображения R^±1_M, которые далее я буду называть R-функциями (от англ. relativistic). Именно они выражают переходы между разными режимами количества, выступая законами преобразования между количественными системами представления, благодаря чему может возникнуть новая инвариантность (ее также можно называть R-инвариантностью) более глубокого представления количества, охватывающего свои аспекты как режимы замыкания и размыкания.

Как ведут себя R-функции в окрестности нуля? Это вопрос, цель которого состоит в большем прояснении более конкретного вида R-функций.

В некоторой мере помочь в ответе на этот вопрос может идея подобия нуля и бесконечности. Ноль есть, с одной стороны, состояние, мультипликативно симметричное бесконечности, т.е. 0 = 1/¥. Обратная R-функция R^-1_M, формирующая субаддитивный ряд, переводит бесконечность в конечное состояние М. Скажется ли это на статусе нуля при такой организации количества? Используя идею мультипликативной симметрии, мы могли бы предположить в этом случае и финитизацию нуля – ноль должен был бы перейти в конечную величину m = 1/M. Однако в статусе нуля есть и очень важный аспект, отличающий его от бесконечности. Ноль не обладает аддитивной симметрией, т.е. аддитивный сдвиг нуля на некоторую конечную величину не влияет на результат аддитивных операций. Это можно выразить следующим образом. Пусть символ у_х означает величину у в системе количества, где х играет роль нуля. Это значит, что у_х есть величина (у+х) в системе количества с 0 в качестве нуля. На элементах у_х можно определить свои операции сложения и вычитания по правилу: у_х ± z_x = (y±z)_x. И здесь роль нуля будет выполнять элемент х. Таким образом, с точки зрения аддитивных операций ноль может быть заменен любым другим конечным числом. Будучи выделен мультипликативно, ноль не выделен аддитивно. Адитивно статус нуля распространяется на все вещественные числа. Если мы свяжем с нулем 0 мультипликативную симметрию 0 = 1/¥ и для финитного случая, то мы потеряем его аддитивную несимметричность. Только ноль окажется единственной точкой, которая будет связана с верхней границей количества обратным соотношением. В самом деле, при представлении нуля как финитной величины m = 1/M мы должны будем ограничить область субаддитивного количества полуинтервалом [m,M), и только для нуля будет выделена финитная область [0,m), в то время как остальные точки такой областью обладать не будут. Ноль потеряет свою аддитивную несимметричность на финитизированной шкале количества.

Пояснить эту идею можно также на примере СТО. Если бы на шкале релятивистских скоростей была выделена нулевая точка, то возникла бы физика не только с максимальной, но и с минимальной конечной скоростью движения. Но в этом случае покой приобрел бы статус абсолютного состояния, инвариантного при переходах между разными системами отсчета. Остановка объекта приводила бы к таким же кардинальным изменениям, что и достижение скорости света. Ничего подобного мы не наблюдаем даже в релятивистской физике именно потому, что ноль не обладает аддитивной симметрией, т.е. нулевая скорость движения – это относительная величина, которая не сохраняется в аддитивных переходах между системами отсчета, и статус нуля может взять на себя любая конечная скорость движения (любая система отсчета движется относительно себя с нулевой скоростью).

Это означает, что в окрестности нуля не должна возникать такая сильная сингулярность, как в случае верхней границы количества. Таким образом, можно предполагать, что здесь R-функции будут оставаться изоморфными вплоть до нуля.

В то же время момент мультипликативной симметрии в соотношении 0 = 1/¥ также должен присутствовать. Но такая симметрия не должна привести к выделению нуля относительно других конечных точек. Поскольку роль нуля в аддитивных операциях может взять на себя любой конечный элемент, то момент мультипликативной симметрии, чтобы не выделить особо ноль 0 и в то же время сохранить этот момент его мультипликативной симметрии, должен быть передан каждой конечной точке субаддитивного количества. Это будет означать, что область финитизации должна будет появиться вокруг каждой точки. Если ноль будет финитизироваться на величину m, то и вокруг каждой точки должна появиться такая же область финитизации. Это, как будто, должно означать, что каждая точка х из субаддитивного количества (кроме сингулярной точки М) должна быть окружена областью особого состояния количества в рамках интервала (x-m,x+m). Такие области, которые, следуя здесь традиции нестандартного анализа, можно было бы называть монадами, выражали бы появление некоторого отношения отождествления всех тех точек, что входят в монаду (x-m,x+m), с центром монады х. Так мы могли бы финитизировать каждую точку как ноль, и в то же время избежать выделенности нуля 0.

Здесь, правда, возникает проблема – что делать с точками, которые лежат по отношению к верхней границе М на расстоянии, меньше, чем m. Правая половина их монады тогда будет выходить за границы всей шкалы субаддитивного количества, что невозможно.

Для решения этой проблемы мы могли бы строить монады на шкале аддитивного количества, а затем сворачивать их обратным R-отображением вместе со всей аддитивной шкалой. В этом случае метрика монад окажется согласованной с метрикой сжатого субаддитивного количества.

Итак, обратное R-отображение R^-1_M сжимает неотрицательную половину вещественной оси [0,+¥) в полуинтервал [0,M), сохраняя изоморфизм для всего полуинтервала, вплоть до нуля. На области определения [0,+¥) функции R^-1_M строятся монады (x-m,x+m), которые также сжимаются этой функцией и потому не выходят правее верхней границы М полуинтервала [0,M).

Остается, правда, еще проблема – что делать с точками, которые лежат на расстоянии от нуля, меньше m? Левые границы их монад должны оказаться левее нуля 0 и при действии обратного R-отображения R^-1_M. Эту проблему можно решить распространением шкалы субаддитивного количества в область отрицательных величин, сохраняя изоморфизм и в этой области. Это будет означать нечетность обратной R-функции, т.е. выполнение условия:

R^-1_M(-х) = - R^-1_M(х).

Областью значения обратной R-функции (субаддитивной шкалой количества) окажется теперь интервал (-М,+М). Тогда и прямая R-функция R⁺¹_M также будет нечетной и изоморфной по всей области своего определения (-М,+М). Отсюда имеем также, что R^±1_M(0) = 0.

Итак, мы получили уже достаточно много информации о виде R-функций. Остается привести какой-то конкретный пример R-функции. И этот пример существует! Он связан с рассмотренной выше формулой релятивистского сложения скоростей. В работе В.Л.Рвачева и его соавторов[1] представлены функции, которые лежат в основе этого закона. Эти функции можно называть эйнштейновскими R-функциями. Одна из этих функций (далее она будет названа прямой R-функцией R^+1­_M – см. ниже) имеет следующий вид:

                                              у = .

Особенностью такого рода функций является также тот факт, что они имеют в качестве тождественной точки не только 0, но и 1 (а значит, и -1).

На основе описанных выше идей и аппарата R-функций может быть создано новое понимание математического анализа, которое я называю также «R-анализом».

Здесь вообще следует заметить, что пионером идей R-анализа можно считать уже упомянутого украинского математика, академика НАН Украины Владимира Логвиновича Рвачева[2]. В работах его и его учеников были высказаны идеи неаддитивного («неархимедового») анализа, использующего вариант эйнштейновской R-функции, сделаны некоторые выводы для новых моделей в области теоретической физики[3]. Например, красное смещение Рвачев объясняет на основе финитной модели пространства-времени, которое «сжато» R-функцией в конечный 4-мерный объем[4]. Если подействовать R-функцией на аппарат теории относительности, то мы получим некоторую изоморфную физическую модель, в которой, в частности, будут выполнены R-преобразования Лоренца. Это позволяет Рвачеву предположить возможности обобщения теории относительности на финитные модели пространства-времени, где не только скорости, но и расстояния и времена также начнут обладать верхними конечными границами – максимальным расстоянием и максимальным временем. Термин «R-функция» использует и Рвачев, но употребляет он его в другом смысле, чем это принято в данной статье.

Далее я попытаюсь набросать свое понимание R-анализа, которое согласуется с идеями Рвачева и развивает их далее[5]. Сам я пришел к идее R-анализа, еще не зная работ Рвачева, и лишь позднее познакомился с ними. То же относится и к термину «R-функция». Я с самого начала употреблял его в том же смысле, который используется и в этой статье, и лишь после знакомства с работами Рвачева, во-первых, узнал, что он развил математику аппарата некоторых функций, которые называл «R-функциями», но это были другие математические объекты, нежели у меня, и, во-вторых, он использовал объекты, которые я называю «R-функциями», не называя их таким образом. В силу возможной путаницы, я предлагаю термин «R-функция», как его понимает Рвачев, специфицировать в виде «RR-функция» («R-функция», по Рвачеву), а мой термин можно обозначать также как «RМ-функция» («R-функция», по Моисееву). Далее под термином «R-функция» я буду иметь в виду случаи только RМ-функций, понимание которых и будет дано вкратце ниже.

Говоря более строго, под «R-анализом» я буду иметь в виду математический аппарат, в котором центральную роль играют R-функции - отображения, изоморфно отображающие векторное пространство Rⁿ в некоторую открытую область D («галактику»). В простейшем случае n=1 они отображают вещественную ось в некоторый интервал (а,b), и обратно. Далее я в основном ограничусь именно этим простейшим случаем. Интервал (a,b) называется «внутренностью галактики» с верхним порогом b и нижним порогом а. В наиболее типичном случае, который анализировался выше, интервал имеет вид (-М,М), где M>0. R-функция, отображающая интервал (-М,М) в множество вещественных чисел R, называется прямой R-функцией и обозначается как R⁺¹_М. Обратная ей функция отображает множество R в интервал (-М,М) и называется обратной R-функцией, обозначаясь R^-1_М. К R-функциям предъявляются такие требования, чтобы они переходили в тождественные отображения при М®¥. Можно выделять два вида R-функций – мультипликативные и аддитивные. Мультипликативные R-функции симметричны относительно единицы, так что R^±1_М(х^-1) = 1/R^±1_М(х). В частности, R^±1_М(0) = 1/R^±1_М(¥) = 1/М. В аддитивных R-функциях такой мультипликативной симметрии нет, и они изоморфны в том числе в окрестности нуля.

Такая модель обобщается далее на бесконечные последовательности галактик, в которых меньшие галактики охватываются большими и т.д. Например, относительно базовой галактики с внутренностью (-М,М) строятся несравнимо большие галактики с внутренностями (-M^2k+1,M^2k+1), где k=1,2,3,…, и несравнимо малые галактики, или «монады», (-M^2k+1,M^2k+1), где k=-1,-2,-3,…. Галактики выражают собой единство количественного процесса вместе со своим качеством, так что для каждой галактики характерно свое качество собственных количественных определений.

Все эти галактики скоординированы между собой таким образом, что меньшие галактики вложены в большие, реализуя выдвинутую выше идею уровней в организации количественно-качественных определений. Вокруг каждой точки в большей галактике, как это было описано выше, строится вложенная галактика меньшего размера.

Например, пусть дана первая несравнимо большая галактика (-М³,М³), вокруг каждой точки в которой образована вложенная базовая галактика. Это можно выразить отображением

 

R^-1_М³(х+R^-1_М(у)).

 

Здесь образ точки х, т.е. R^-1_М³(х), в первой несравнимо большой галактике будет окружен вложенной базовой галактикой из точек R^-1_М³(х+R^-1_М(у)), где уÎR. Вложение базовой галактики выражается в том, что на нее действует обратное отображение R^-1_М³, чтобы базовая галактика не выходила за границы (-М³,М³) для любой точки из этой области.

Далее эта модель может повторяться. Например, вокруг каждой точки базовой галактики может в свою очередь существовать первая несравнимо малая галактика, так что в целом мы получим величины вида:

 

R^-1_М³(х+R^-1_М(у+R^-1_М^-1(z))).

 

Здесь каждая точка R^-1_М³(х) из внутренности (-М³,М³) первой несравнимо большой галактики будет окружена числами R^-1_М³(х+R^-1_М(у)) из вложенной базовой галактики, центрированной относительно точки R^-1_М³(х), а каждая точка R^-1_М³(х+R^-1_М(у)) из этого окружения будет в свою очередь окружена множеством величин R^-1_М³(х+R^-1_М(у+R^-1_М^-1(z))), которое будет представлять внутренность первой несравнимо малой галактики, вложенной в базовую галактику, которая в свою очередь вложена в первую несравнимо большую галактику.

Величину R^-1_М³(х+R^-1_М(у+R^-1_М^-1(z))) можно рассмотреть как реализацию тройки чисел (x,y,z) – реализацию в системе из первой несравнимо большой, базовых и невравнимо малых галактик:

 

r(x,y,z) = R^-1_М³(х+R^-1_М(у+R^-1_М^-1(z))).

 

Тройка (x,y,z) – это как бы чистое три-число до своего воплощения в систему галактик, в то время как его представление R^-1_М³(х+R^-1_М(у+R^-1_М^-1(z))) – это уже некоторая реализация чистого три-числа в указанной системе галактик.

Если в записи R^-1_М³(х+R^-1_М(у+R^-1_М^-1(z))) мы хотим на первый план вывести композиции R-функций, то сдвиги центров R-функций можно обозначать в индексах самих R-функций, например:

R^-1_М(х)(у) =_Df  х+R^-1_М(у).

Тогда запись R^-1_М³(х+R^-1_М(у+R^-1_М^-1(z))) будет выглядеть следующим более унифицированным образом:

 

R^-1_М³ o R^-1_М(х) o R^-1_М^-1_(у)(z).

 

В основе R-анализа лежит обобщение описанной тричисловой структуры, когда начинают рассматриваться так называемые поличисла a = , представляющие собой бесконечные «вниз» и «вверх» от центрального элемента a₀ последовательности вещественных чисел a_i. Поличисла могут реализовываться в бесконечных иерархиях галактик, обобщая приведенную выше схему до бесконечности. Поличисла можно складывать и перемножать, определяя на них определеннную алгебру, которая связана с соответствующей алгеброй на реализациях поличисел. В более простых случаях могут рассматриваться конечные поличисла, реализующиеся в конечных иерархиях галактик.

В общем случае поличисла могут иметь не единственные реализации, так что вид реализации может зависеть от решения конкретной задачи.

Будем говорить, что галактика находится в М-статусе, если она представлена интервалом (a,b), -¥<a<b<¥, и в L-статусе, если внутренность галактики совпадает со всем множеством вещественных чисел (в результате действия на внутренность галактики (c,d), где (c,d)Í(a,b), прямой R-функции).

В общем случае аппарат R-анализа рассматривается как система математических средств, позволяющая соизмерять конечное (до-предельное) и бесконечное (предельное), поскольку обратным R-отображением любая бесконечность (предельность) всегда может быть финитизирована, и наоборот, любая конечность (до-предельность) может быть прямой R-функцией инфинитизирована (сделана предельной). В связи с этим, состояния конечности и бесконечности количества оказываются относительными, зависящими от определенных R-позиций, связанных со структурой R-функций. С группой R-преобразований – как композиций прямых и обратных R-функций R_ММ* = R^-1_М* о R⁺¹_М – связана своя R-симметрия, которую можно понимать как состояние фин-инфинитности – комплексное состояние, которое в одних R-позициях реализует себя как финитное (до-предельное), в других – как инфинитное (предельное).

В общем случае идеи R-анализа могут использоваться для решения самых разных задач количественно-качественной математики, в основе которой лежит взаимодействие аддитивной и неаддитивной арифметики. Ниже я проиллюстрирую возможности R-анализа для выражения одного случая сверхаддитивного натурального ряда.

Как уже отмечалось, в истории развития представлений о числе практически у всех народов наблюдался такой достаточно ранний период, когда натуральный ряд чисел рассматривался конечным с некоторой верхней границей М, которая играла роль бесконечности. Величина М рассматривалась как верхняя граница исчислимого количества и носила своеобразный мистический оттенок «тьмы» или «бездны», которая уже не может быть постигнута человеческим разумом. Можно ли такое состояние количества выразить средствами R-анализа, и если да, то какими именно? Ниже я приведу ряд соображений по этому поводу.

Обозначим элементы конечного натурального ряда с верхней границей М символами 1_М,2_М,…,М_М. Тот факт, что на конечном элементе М этот ряд достигает состояния, равносильного бесконечности, говорит за то, что этот ряд быстрее стремится к бесконечности, чем стандартный натуральный ряд, и может быть рассмотрен как сверхаддитивный натуральный ряд. В то же время он должен рассматриваться в связи со стандартным натуральным рядом, сжатым в полуинтервал [0,M], так что его верхняя граница совпадает с М и придает ей статус конечной бесконечности (такова трактовка финитного натурального ряда как пост-бесконечного финитного ряда). Таким образом, мы имеем здесь дело со сверхаддитивным натуральным рядом, данным в L-статусе (его верхняя граница совпадает с бесконечностью), в то время как стандартный натуральный ряд дан здесь в М-статусе (его верхняя граница конечна). Но элементы стандартного ряда здесь еще явно не рассматриваются, и роль стандартного ряда выражается только в придании бесконечности величине М [6]. В такой двойственной позиции и формируется ряд 1_М,2_М,…,М_М. В его пределах находится стандартный ряд в виде значений обратной R-функции:

R^-1_M(1), R^-1_M(2),…, R^-1_M(¥)=M,

а сами величины 1,2,…,М, которые выражаются рядом 1_М,2_М,…,М_М, являются элементами сверхаддитивного натурального ряда 1,2,…

Такой фин-инфинитный натуральный ряд 1_М,2_М,…,М_М выражался также в разного рода древних нумерологических традициях. Например, в китайской нумерологии М=2, где 1₂ – это элемент «ян», 2₂ – элемент «инь». В индийской и пифагорейской традиции М=7, в кашмирском шиваизме[7] М=5 и т.д. В рамках нумерологии определения ряда 1_М,2_М,…,М_М дополнительно обогащаются.

Здесь каждый элемент несет в себе подобие целому, и все целое, кроме линейного, обладает еще и циклическим параметром организации, так что последний элемент возвращается к началу, замыкая цикл.

Позднее, с развитием арифметики, определения фин-инфинитного ряда 1_М,2_М,…,М_М теряются, происходит смена R-позиции, и начинает господствовать стандартный натуральный ряд, данный в L-статусе. Такое преобразование связано с ростом параметра М. Он все более приближается к бесконечности, что означает совпадение стандартного натурального ряда и сверхаддитивного ряда. Их различие исчезает, и остается только стандартный натуральный ряд. Исчезает количественно-качественная математика, и на смену ей приходит математика чистого количества (в пределах одного фиксированного качества). Однако развитие современной науки, по-видимому, начинает свое возвращение к этому более раннему этапу понимания количества, также двигаясь в некотором цикле количественно-качественной системы. Средства R-анализа позволят нам на новом уровне выразить эти более ранние представления о количестве.

В рамках R-анализа ряд 1_М,2_М,…,М_М можно связать с положительной половиной галактики с верхней границей М. Циклический параметр этого ряда заставляет нас предположить, что организация количества в рамках финитной галактики может нести в себе в общем случае циклический параметр. Внутригалактической R-протяженности от нуля до М можно сопоставить окружность (ее можно называть R-окружностью) длины М. Она будет в точности «наматывать» на себя неотрицательную половину галактики [0,M). Величине хÎ[0,M) можно сопоставить циклический параметр как угол j_М(х) = 2pх/М. В частности, значения этой R-окружности можно было бы представлять как комплексные числа r_Mexp(ij_М(х)), где r_M = M/2p - радиус  R-окружности. Движение по ряду 1_М,2_М,…,М_М предстанет в этом случае как вращение по R-окружности. Когда М стремится к бесконечности, радиус R-окружности также устремляется к бесконечности, а угловые параметры j_М(х) для любого конечного числа х оказываются равными нулю – так в стандартном натуральном ряду теряется циклический параметр количественно-качественной организации, и остается только линейная составляющая натурального числа.

В связи с циклической организацией фин-инфинитного ряда 1_М,2_М,…,М_М, интересно понять, что именно измеряет этот ряд.

Здесь я высказываю следующую гипотезу. В общем случае существуют качественные многообразия, структура которых построена как раз, как структура ряда 1_М,2_М,…,М_М. Она соединяет в себе линейный и циклические прметры, образуя как бы один период комплексной спиральной структуры. Такие определенности я буду называть плеронами – единицами полноты (от греч. «плерома» - «полнота»)[8]. Плеронами являются звуковая и цветовая гамма, периоды в Периодической таблице элементов Менделеева, относительно законченные циклы исторического процесса, циклы познания, деятельности и т.д. Именно такого рода плерональные организации выражались различными нумерологическими традициями, например, в цикле пяти стихий («у син») «дерево – огонь – земля – металл - вода» в китайской традиции и т.д. Отсюда можно высказать предположение, что финитный натуральный ряд измеряет именно плероны, и его структура максимально соответствует выражению подобных количественно-качественных состояний, в отличие от чисто количественных и максимально линеаризированных параметров стандартного натурального ряда, который может измерять только состояние вырожденных плерональных многообразий.

Самое новое, что характерно для элементов плерона, в отличие от элементов стандартного натурального ряда, - это именно их цикло-угловые параметры, которые выражают особое качество бытия, своего рода угол бытия каждого элемента плерона. Угол бытия выражает как бы степень законченности-завершенности каждого элементы, в связи  с чем можно выделять более «молодые» элементы, с малым углом бытия, для которых характерны большой потенциал, малая оформленность, пластичность и т.д., и более «зрелые» элементы с большим углом бытия, которые характеризуются малой потенциальностью, большой оформленностью и ригидностью.

Элементы фин-инфинитного ряда 1_М,2_М,…,М_М я буду также называть онтологическими числами (онто-числами). Это название оправдано тем, что именно такого рода числа использовались в разного рода метафизических традициях мировой философской мысли для выражения глубинной кодировки бытия, для представления своего рода онтологического кода – того универсального языка, на котором может быть записано любое бытие. Например, диалектические структуры гегелевской метафизики – это также более новая версия кодировки бытия средствами онто-чисел с основанием М=2, где 1₂ – это «тезис» , 2₂ – «синтез» («антитезис» в этой системе представляет собой не вполне самостоятельное состояние – это вторая единица двойки, которая может гипостазироваться как самостоятельный элемент). Из современных философов идеи «качественного ряда натуральных чисел» развивал А.Ф.Лосев. Его тетраду и пентаду можно рассмотреть как два финитных натуральных ряда с основаниями 4 и 5 соотв. В работе В.П.Троицкого «Введение в периодическую систему начал Лосева»[9] проводится идея периодической организации категориальных делений в диалектике Лосева, а в основе периода, как уже отмечалось, лежит структура плерона, выражаемая финитным рядом 1_М,2_М,…,М_М.

В дальнейшем я предполагаю представить вниманию читателя отдельное исследование, посвященное разбору диалектики Лосева с точки зрения конструкций R-анализа, так что данную публикацию можно рассматривать как некоторое предварение к подобной будущей реконструкции.

---

[1] См. В.Л.Рвачев, А.Н.Шевченко, Т.И.Шейко. Исчисления с наибольшим числом // Кибернетика и системный анализ, 1995, №3. – С.71-86.

[2] Владимир Логвинович Рвачев / НАН Украины; Сост. Н.Д.Сизова, Е.Ю.Тарсис; Авт.вступ.ст. Т.И.Шейко; Отв.ред.Ю.М.Мацевитый. – Харьков: Ин-т проблем машиностроения, 2001. – 59 с.: портр. – (Библиография ученых Украины).

[3] Релятивистские и другие неархимедовы исчисления / Рвачев В.Л. – Харьков, 1992. – 47 с. – (Перпр. АН Украины. Ин-т проблем машиностроения; № 356).

[4] Неподвижные объекты дальнего космоса имеют красное смещение своих спектров (вывод из неархимедова исчисления) / В.Л.Рвачев. – Харьков, 1994. – 20 с. - (Перпр. АН Украины. Ин-т проблем машиностроения; № 377).

[5] См. также Моисеев В.И. К философии конечной несоизмеримости // 11-я Международная конференция по логике, методологии и философии науки. Секция 1. Москва - Обнинск, 1995. - С. 41 – 44; Моисеев В.И., Чусов А.В. О разнообразии статусов существования и модальности предельных понятий// Вестник МГУ. Серия 7. Философия, № 4, 1997. - С. 82 – 104; Моисеев В.И. Об относительности бесконечности // Философия математики: актуальные проблемы: Тезисы второй международной научной конференции; 28-30 мая 2009 г. / Редкол.: Маркин В.И. и др. – М.: МАКС Пресс, 2009. – С.34-37.

[6] При такой трактовке пре-бесконечного финитного натурального ряда, когда он выступает как неосознанный пост-бесконечный натуральный ряд, т.е. определения бесконечного здесь еще не могут быть осознаны операционально, и они лишь переживаются в несоизмеримости величины М, мы вновь усиливаем связь идеи бесконечности и качественного состояния количества, и, как уже отмечалось, даже в финитном внутреннем количестве появляется оттенок инфинитности. Может быть, в некотором смысле бесконечность – это всегда внутреннее количество своего качества?

[7] Свами Муктананда «Введение в кашмирский шиваизм» (перевод на русский А.В.Арапова см. http://book.ariom.ru/txt1984.html).

[8] См. также Моисеев В.И. О некоторых принципах биологического многообразия // Философия биологии: вчера, сегодня, завтра. - М. ИФРАН, 1996. - С. 135 - 147.

[9]Троицкий В.П. Введение в периодическую систему начал А.Ф.Лосева // Научно-техническая информация. Сер.2. Информационные процессы и системы. 2000. № 1. С.1—11; Троицкий В.П. Разыскания о жизни и творчестве А.Ф.Лосева. - М., 2007. С. 270-297.