В этой работе я хотел бы исследовать качественные основания количества, набрасывая эскиз своего рода «математики меры», где под «мерой», как это общепринято в философии, понимается категория синтеза количественных и качественных определений. 

В общем случае, как известно, количество определяется в ситуации бескачественного изменения, когда есть изменение чего-то, обладающего одним качеством. Изменение в рамках этих границ и порождает количество. В таком виде количественное изменение предстает как некоторое изменение, не настолько сильное, чтобы привести к кардинальной смене меняющегося состояния. Это изменение «всего лишь по количеству». 

Уже из этого понимания количественного процесса мы видим, что у количества есть некоторая своя сфера бытия, и эта сфера, хотя и отрицает наличие качественных трансформаций, но одновременно оказывается своеобразным – негативно-равнодушным – способом связана с качеством. Количество предполагает бескачественное изменение объекта, но тем самым обнаруживается зависимость количества от качества. Чтобы быть количеству, необходимо, чтобы качество оставалось неизменным, а изменение все же происходило. Так количество оказывается видом изменения при условии качественного покоя (тождества). Качественный покой при общем движении и рождает количественное изменение. 

Тем самым очерчивается своего рода область или «интервал бытия» количества, т.е. то место бытия, в рамках которого количество дано как таковое. Со всех сторон это «место количества» как бы окружено качеством (словно чистая вода окружена айсбергами где-нибудь в приполярной области), и только внутри этого качества, как бы в его «промежутке небытия» количество только и обретается. 

Из этих соотношений видно, что качество оказывается некоторым более инвариантным состоянием – там, где меняется количество, качество продолжает быть неизменным. Но это совсем не означает, что качество так же не может измениться. Возможен качественный скачок, в котором качество меняется и переходит в другое качество. Например, вода закипает и переходит в пар. 

Отсюда возникает гипотеза уровней организации бытия, в котором качество есть лишь количество более высокого уровня, а количество – качество уровня более нижележащего. Для каждого уровня характерен свой масштаб изменения. Чтобы элемент более высокого уровня совершил хотя бы один шаг изменения, необходимо пройти множество шагов на нижележащем уровне. 

Теперь «интервалом количества» оказывается такое представление процесса изменения, когда:

1) Рассматривается изменение относительно определений более высокого уровня,

2) Это изменение реализуется движением на нижележащем уровне при покое на более высоком уровне.

Соединение этих двух условий и порождает представление изменения как количественного изменения. 

Следовательно, когда математика оперирует тем или иным понятием количества, она должна использовать свои определения в указанном интервале. Попробуем взглянуть с этой точки зрения на наиболее первичное выражение количества в лице числа, а еще более конкретно – в форме натурального ряда чисел, который составляет основу современной теории количества.

Все мы знаем со школьной скамьи натуральный ряд чисел с элементами 1,2,3,…, операциями сложения и умножения, ограниченного вычитания и деления, отношениями равенства и порядка. 

Если применять к натуральному ряду идею интервала количества, то первое, что необходимо заметить, состоит в том, что такой ряд должен представлять собой выражение количественного процесса на некотором уровне организации, так что накопление единиц (шагов) в этом ряду будет одновременно покоем некоторого элемента более высокого уровня, который и будет выражать качество данного натурального ряда. 

Что с этой точки зрения могла бы представлять собой идея бесконечности, которая завершает структуру натурального ряда?

По-видимому, бесконечность будет выражением достижения границы качества, т.е. возможности первого изменения на более высоком уровне организации и выхода качества натурального ряда из состояния покоя. 

В то же время, почему бы такое качественное изменение не могло бы совершиться за конечное число шагов на более нижележащем уровне? Мы должны понять идею бесконечности не только как достижение границы качества, но именно бесконечное приближение к такой границе. Почему нужно совершить именно бесконечно много шагов изменения на нижележащем уровне, чтобы достичь границы качества?

Бесконечность – это особый режим количества, в котором количество в точности попадает на границу своего качества. Если бы это движение было бы хотя бы малейшим образом нарушено в ту или иную сторону, мы не получили бы имеющейся бесконечности. Если бы в выходе количества из себя было бы больше силы трансцендирования, то выход получился бы раньше, т.е. на конечном числе шагов. Наоборот, если бы сила замкнутости количества была бы выше, то там, где натуральный ряд достигал бы бесконечности, оказался бы некоторый конечный элемент, и бесконечность была бы отодвинута дальше. 

Если посмотреть как бы «извне» на бесконечный процесс, то мы увидим, что это такой специфический режим изменения количества, который чем более подходит к границе качественного скачка, тем более теряет в своей силе, так что у самой границы он в точности и полностью обессиливает. Такой процесс по сути не может вывести за границы качества, он может только в точности подвести к его границе. Количественный процесс, в точности подводящий к границе своего качества, можно называть режимом замыкания, поскольку он не может вывести количество за границы своего качества, но как бы замыкает его в границах своего качества. Через режим замыкания качество не преодолевает, но утверждает себя. 

Таким образом, рассматриваемый сегодня в математике натуральный ряд есть выражение режима замыкания качества этого натурального ряда. 

Количество, которое выражает себя режимом замыкания при приближении к границам качества, есть количество именно данного качества, а не вообще количество. Такое количество как бы привязано к своему качеству, не может быть без него, затухает на его границах. Такое количество можно называть внутренним для данного качества. Отсюда следует, что внутреннее количество есть уже не вообще количество, но количество, вобравшее в себя определения своего качества, как бы «качество-в-количестве». 

Таким образом, классический натуральный ряд есть внутреннее количество для своего качества. В то же время является ли натуральный ряд простейшим внутренним количеством?

В ответе на этот вопрос мы могли бы отделить друг от друга качество и бесконечность, предполагая, что в общем случае внутренним количеством качества могло бы быть и конечное количество (конечный натуральный ряд). За эту точку зрения говорят разного рода примеры из истории арифметики, которые свидетельствуют о существовании практически у всех народов на ранних стадиях развития конечных натуральных рядов с некоторым максимальным натуральным числом («тьма»). В этом случае натуральный ряд за конечное число шагов выводил бы к границе качества и возможности качественного скачка. Единицы этого ряда были бы другими, нежели единицы бесконечного натурального ряда. Последние бесконечно однородны между собой, в то время как единицы конечного натурального ряда были бы гораздо более качественно неоднородными состояниями, за конечное число шагов будучи в состоянии дать качественный скачок, подобный скачку между конечным и бесконечным. Если мы принимаем эту гипотезу о возможности существования конечного внутреннего количества, то возникает проблема бесконечного натурального ряда – в чем тогда состоит категория бесконечности как особого вида внутреннего количества? 

Коль скоро идея внутреннего количества оторвалась у нас от бесконечности (не всякое внутреннее количество бесконечно), то идея бесконечности требует для своего выражения некоторого самостоятельного принципа, кроме принципа качества того или иного количества. Например, в теории формальной арифметики, как известно, бесконечность множества натуральных чисел N задается на основе аксиом Пеано, в том числе аксиомы индукции:

Num(1)  n(Num(n)  Num(S(n)))  n(Num(n)),

где S(n) = n+1, Num – предикат «быть натуральным числом». 

В таком представлении важную роль играет понятие переменной n и цикла n(Num(n)  Num(S(n))) – «если n является натуральным числом, то и следующее за n – также натуральное число». Именно эти конструкции формируют индуктивное предположение аксиомы индукции, которое сворачивает идею бесконечности в конечную форму, выражающую качество бесконечного процесса. Тогда бесконечность можно представить как внутреннее количество именно того типа качества, в определения которого входит аксиоматика Пеано. 

Принимая описанную выше логику, следует также различать два вида конечных натуральных рядов – пре-бесконечные и пост-бесконечные. Первые существуют (исторически и логически) до возникновения бесконечного натурального ряда и не могут использовать его инфинитные структуры в своих определениях. Пост-бесконечные конечные натуральные ряды – это своего рода возврат к обогащению структуры пре-бесконечных рядов, но уже с использованием структур бесконечного натурального ряда. Далее мы еще обратимся к рассмотрению этих последних рядов. 

В то же время следует заметить, что пре- и пост-бесконечные конечные ряды связаны между собой – пост-бесконечные ряды, использующие для своего выражения идею бесконечности (подробнее см. ниже), можно рассматривать как более глубокую основу пре-бесконечных рядов, неявно пред-данную в последних. Если это так, то связь между внутренним количеством и бесконечностью могла бы обрести поддержку – всякое внутреннее количество оказалось бы связанным с бесконечностью, и речь шла бы в этом случае лишь о явности или неяности этой связи. Тогда бесконечность могла бы быть определена более просто – не как некоторый вид внутреннего количества, но любое внутреннее количество того или иного качества. Даже конечное внутреннее количество в этом случае оказывалось бы лишь более замаскированной формой все той же бесконечности. Но пока я все же буду придерживаться в большей мере другой гипотезы (о бесконечности как об одном из видов внутреннего количества), оставляя перипетии этой проблемы для будущих более глубоких размышлений…

Если, как уже отмечалось, внутреннее количество отделяется у нас от идеи бесконечности (может быть конечное внутреннее количество), то и конечность может соединяться или нет с качественной границей, формируя возможность двух видов конечного. Конечное, которое достигает качественной границы и тем подобно бесконечности, можно называть несоизмеримой конечностью. Конечность, лежащая до качественной границы, могла бы называться соизмеримой конечностью. Бесконечность всегда достигает границы своего качества и в этом смысле выражает бесконечный вид несоизмеримости. 

Совсем не обязательно, чтобы внутреннее количество было единственным видом количества. Более того, коль скоро есть качественные скачки, то должно существовать иное количество, способное вывести за границы данного качества. Такое количество можно называть внешним, в силу его способности выводить во внешнюю к данному качеству область (заграничное пространство). Качество, которое тренсцендируется внешним количеством, не является своим для данного количества. 

Двигаясь к границе качества, внешнее количество не будет порождать несоизмеримость (конечную или бесконечную), но на некотором конечном соизмеримом шаге достигнет границы несвоего качества и перейдет ее. Такой способ существования внешнего количества можно называть режимом размыкания. В то же время для внешнего количества будет существовать свое качество, в отношении к которому это количество окажется внутренним, но это будет качество более высокого уровня, покой которого будет сопровождаться изменением качества нижележащего уровня. 

В этом случае произойдет интересное изменение с бесконечностью, когда она будет трансцендирована внешним количеством (например, в случае рассмотрения бесконечности как актуальной бесконечности в теории множеств). В рамках развиваемого здесь подхода, можно будет описать такое состояние следующим образом. Оставаясь в некотором смысле бесконечностью, такое количество одновременно будет представлено и как некоторый конечный шаг внешнего количественного процесса. Стоит отметить, что это будет несколько иной статус бытия бесконечности, нежели когда она будет рассматриваться только как внутреннее количество своего качества. Ниже различие этих состояний можно будет выразить, используя понятия L- и М-статусов (см. далее). 

Так мы постепенно открываем для себя более сложную картину организации количественно-качественных определений, нежели структура организации количества в современной математике, где по сути фиксировано количество одного качества, и господство такой позиции определяет собой все иные математические формы. Можно поставить проблему построения новой математики более масштабного представления количественно-качественных процессов, в которой будут присутствовать разные уровни организации и взаимодействие разных режимов количественно-качественных трансформаций. Такую математику можно было бы называть математикой меры, а не просто количественных определений. 

Элементы новой математики видятся повсеместно уже в имеющихся направлениях современной математики, и остается лишь вполне осознать этот процесс и сгруппировать его под одним флагом. Например, в теории множеств Кантором были введены разные степени бесконечности и практически впервые было сделано математическое открытие режима размыкания господствующей системы натурального ряда. Символом такого внешнего количества стала идея актуальной бесконечности, т.е. введения такого режима количества, при котором ранее недостижимое достигалось и преодолевалось. С другой стороны, в конструктивной математике развивалось противоположное движение, которое демонстрировало возможность замыкания размыкающих количественных процессов (отказ от идеи актуальной бесконечности). Эти два направления лишь поверхностному взгляду кажутся взаимно отрицающими друг друга, в то время как в своей совокупности они вплотную подходят к идее относительности количественных режимов и их определения в рамках многоуровневой количественно-качественной системы организации. 

В теории множеств Кантора, однако, остается еще некоторая двусмысленность, которая была верно подмечена конструктивистами. С одной стороны, бесконечность натурального ряда преодолевается, и возникает претензия на режим размыкания более мощного количественного процесса. С другой стороны, преодолеваемый натуральный ряд остается только бесконечным, т.е. продолжает и при этой новой позиции рассматриваться как находящийся в режиме только замыкания, в то время как он должен быть теперь соотнесен с преодолевающим его границы внешним количественным процессом, где прежняя бесконечность окажется конечной. Подобное смешение является уже формально-логическим противоречием и должно, как верно отмечают представители конструктивизма, быть преодолено (актуальная бесконечность должна быть представлена в том числе финитно). Но последние сами впадают в другую крайность, предлагая вообще отказаться от режима размыкания бесконечности, и все количественные определения рассматривать только в рамках режима замыкания натурального ряда, т.е. изгоняя идею актуальной бесконечности вообще. С этой точки зрения, концепт актуальной бесконечности оказывается двусмысленным и требует прояснения. С одной стороны, он несет в себе важную составляющую режима размыкания количества, преодолевающего границы некоторого качества. С другой стороны, в рамках такого режима размыкания прежнее количество, ранее находящееся в режиме замыкания и данное как бесконечное, теперь оказывается конечно-преодолимым и перестает быть только бесконечностью, оказываясь в том числе (в рамках режима размыкания) конечным состоянием – в этом правда финитистов. 

В итоге, пытаясь согласовать эти стороны режима размыкания, мы должны будем ввести идею более инвариантного уровня количества, для которого режимы замыкания и размыкания окажутся лишь двумя его формами представления, в зависимости от некоторой количественной позиции. 

Речь идет об обобщении идеи симметрии (инвариантности), которая играет сегодня столь фундаментальную роль в теоретической физике. Говоря более точно, ситуация инвариантности должна предполагать следующие составляющие:

1) Некоторые системы представления («системы отсчета»),

2) Аспекты, выражаемые в каждой системе представления,

3) Законы преобразования, связывающие между собой аспекты с переходом от одной системы представления к другой,

4) Инвариант, который образует свои аспекты в системах представления. 

В этом случае делается утверждение о принадлежности двух аспектов к одному инварианту, если только эти аспекты могут быть связаны указанными законами преобразования. Например, вектор – это инвариант, системы представления – системы координат в векторном многомерном пространстве, аспекты – представления вектора своими кординатами в каждой системе координат, законы преобразования – линейные законы преобразования координат вектора при переходе от одной системы координат к другой. 

Подобная схема может быть обобщена, если использовать идеи и структуры Проективно Модальной Онтологии (ПМО) . В основе этой аксиоматической системы заложена как раз описанная выше схема, когда рассматриваются в самом общем виде некоторые инварианты и их аспекты, задаваемые в различных системах представлений. С этой точки зрения ПМО может быть названа формальной теорией относительности. Выражаемые предельно обобщенно, в рамках аксиоматики ПМО, идеи теории инвариантности могут быть названы идеями обобщенной инвариантности (обобщенной симметрии). Было бы интересно применить средства этой методологии к выражению более инвариантных количественных режимов. 

Общая идея здесь могла бы быть такова. 

В общем случае количество может рассматриваться способным находиться в режиме замыкания и размыкания, и это будут лишь два аспекта более инвариантного выражения количества. В этом случае необходимо ввести некоторые системы представления количества, в которых количество-инвариант могло бы образовывать свои аспекты как те или иные количественные режимы. В этом случае, например, следовало бы понимать натуральный ряд как некоторый инвариант, который в одной позиции (системе представления) мог бы быть дан в режиме замыкания, выступая в качестве первичной бесконечности классического натурального ряда, а в другой позиции мог бы оказаться связанным с режимом размыкания, при котором данный натуральный ряд оказался бы конечным. Такое более инвариантное, финитно-инфинитное, выражение натурального ряда можно было бы обозначать как фин-инфинитное состояние  количества (фин-инфинит), способное в одних системах представления давать свои инфинитные, а в других – финитные аспекты. 

В такой новой схеме организации мерного количества важную роль должны играть законы преобразования различных количественных аспектов в переходах от одних систем представления к другим. Подобные преобразования, согласно современной теории симметрии, должны образовывать группу. Посмотрим на возможные определения таких преобразований на примере все того же натурального ряда. 

Допустим, у нас есть некоторое качество Кч1, с которым связано свое количество кл1, находящееся в режиме замыкания. Допустим, что количество кл1 выражается в виде натурального ряда 1,2,3,…, который стремится к бесконечности на границе качества Кч1. Далее можно предполагать существование более трансцендентного количественного процесса кл*, который связан со своим качеством Кч* более высокого уровня, и за конечное число шагов такой процесс достигает границы качества Кч1, переходя от него к другому качеству Кч2. Пусть количество кл* образует свой натуральный ряд 1*,2*,3*,…, который стремится к бесконечности на границе качества Кч*, но на некотором конечном шаге М* достигает границы качества Кч1.  Тогда, в согласии с вышесказанным, мы предполагаем, что существует более инвариантное количество Кл1, которое может быть представлено в одной системе представления как внутреннее количество кл1 качества Кч1, а в другой системе представления - как внешнее количество кл1*, связанное с количеством кл*, так что в натуральном ряду этого количества количество Кл1 будет выражено конечным отрезком натурального ряда 1*,2*,…,М*. В этом случае должны существовать отображения вида кл1кл1* и кл1*кл1, связывающие между собой инфинитный (кл1) и финитный (кл1*) аспекты инвариантного количества Кл1. 

Отображение кл1*кл1 - это отображение из финитного отрезка 1*,2*,…,М* в бесконечный натуральный ряд. Обратное отображение кл1кл1*, наоборот, отображает весь бесконечный натуральный ряд в финитный отрезок натурального ряда. Если мы хотим иметь группу на такого рода отображениях, то они должны быть изоморфизмами, чего можно достичь только рассматривая натуральный ряд как подмножество вещественных чисел. Таким образом, указанные отображения должны быть вещественными функциями, изоморфно отображающими между собой бесконечные и конечные подмножества вещественных чисел. 

В связи с этим, интересно заметить, что следствие обратимости финит-инфинитных отображений влечет за собой взаимопереход дискретных и непрерывных определений количества. Чтобы обеспечить взаимопереход конечного и бесконечного, дискретный натуральный ряд должен быть погружен в непрерывное множество вещественных чисел. Это можно было бы интерпретировать таким образом, что дискретные единицы количества всегда имеют фоном некоторую непрерывную протяженность, которую они разбивают на дискретные порции. Причем, подобное «нарезание» непрерывной сплошности на порции не единственно – оно может выражать разные режимы количества, режимы замыкания и размыкания, что и требует их взаимного пересчета друг в друга, возможного только при непрерывной со-измеряющей количественной среде. При таком понимании эта среда выражает более инвариантную природу того более глубокого образа количества, которое способно выражать себя разными аспектами в разных системах представления. Как ни странно, это означает определенную проблематизацию фундаментальности натурального ряда – он оказывается хотя и первым, но лишь относительным аспектом более инвариантного представления количества. Такая относительность, в частности, выражается в его абсолютной дискретности, что делает его неспособным соотнестись с другими дискретными представлениями, отличными от данного. Для такого соизмерения и нужна более инвариантная непрерывная среда количества, только лишь одним из дискретных представлений которой оказывается первичная бесконечность натурального ряда. Вот почему, вскоре после своего выражения в истории математики, натуральный ряд все более начинает погружаться в более обширные количественные определения – множество рациональных, целых и наконец вещественных чисел. 

Итак, пусть дан некоторый натуральный ряд, и мы находимся как бы «внутри него», так что он предстает как бесконечный натуральный ряд, в точности попадающий на границу своего качества (назовем такой натуральный ряд стандартным). Но, как было отмечено выше, такое состояние натурального ряда является не единственным, и возможны отклонения от него в ту или иную сторону. В связи с этим возникает интересная проблема разных видов суммирования элементов натурального ряда. В самом деле, почему мы уверены, что некоторые материальные элементы в точности суммируются так же, как единицы стандартного натурального ряда? Суммирование в стандартном натуральном ряду можно называть аддитивным. Отличные виды суммирования могли бы давать предел ряда и раньше стандартного суммирования (случай субаддитивного суммирования), и позже него (сверхаддитивное суммирование). Только при аддитивном суммировании 1+1 = 2. При субаддитивном суммировании 1+1 < 2, при сверхаддитивном – 1+1>2. Задание того или иного вида суммы – это, по-видимому, такая же независимая аксиома арифметики, что и пятый постулат Евклида. Принимая другие виды суммирования, мы можем иметь дело с другими арифметиками (суб- или сверхаддитивными). И, подобно тому, как можно поставить проблему экспериментальной проверки вида геометрии реального пространства, подобно этому может быть поставлена проблема проверки вида суммирования в реальном мире. Почему мы так уверены, что в нашем физическом мире суммирование именно адитивное? Более того, уже есть примеры в современной физической теории, которые можно было бы проинтерпретировать как случаи неаддитивного суммирования. Таково, например, сложение скоростей в специальной теории относительности (СТО). Для этого сложения имеем формулу вида:

Х  У = (Х+У)/(1 + ХУ/с2),

где с – скорость света. 

Отсюда получим:

1  1 = (1+1)/(1+ 1/с2) = 2/(1+ 1/с2) < 2. 

Следовательно, релятивистское сложение скоростей может быть рассмотрено как субаддитивное сложение. 

Теория относительности может быть представлена в этом случае как прикладная неаддитивная арифметика, в основе которой должен лежать нестандартный натуральный ряд с субаддитивным сложением (это случай субаддитивной арифметики). Это значит, что такой ряд раньше стандартного ряда достигает своей бесконечности, т.е. в таком значении, которое является конечным для стандартного ряда. В физике это как раз значение скорости света с. Здесь лежит граница качества субаддитивного ряда релятивистских скоростей, и теория относительности неявно уже работает с мерной математикой. Только физике до сих пор кажется, что она здесь применяет аддитивную арифметику в особых физических условиях. Ситуация может быть переформулирована в этом случае более радикально: физика работает в теории относительности с неаддитивной арифметикой, что и выражается в особых физических условиях. 

В качестве примера сверхаддитивного сложения можно рассмотреть известные парадоксы континуума, непрерывной протяженности, которая должна состоять из точек. Каждая точка обладает нулевой протяженностью, но ненулевая протяженность континуума каким-то образом складывается из нулевых точек. Здесь сумма нулей дает не ноль, т.е. 0+0 > 0 – это случай сверхаддитивного сложения. Его можно было бы связать с неаддитивной арифметикой следующим образом. Предположим, что существует натуральный ряд нулей, в котором первый элемент – это 0 = 10, второй элемент 0+0 = 20, третий – 0+0+0 = 30 и т.д. В таком виде этот натуральный ряд является стандартным, и любой его конечный элемент не выводит за границы своего качества – качества нулевого количества. Внутри себя на этом ряду может быть определена арифметика стандартного натурального ряда на элементах n0. Например, сложением здесь будет операция n0 + m0 = (n+m)0, отношения будут определяться аналогично, допустим, n0 < m0 е.т.е. n<m и т.д. Затем предположим, что с нулевым натуральным рядом будет связан некоторый нестандартный сверхаддитивный натуральный ряд 1*,2*,3*,… Его сверхаддитивность будет означать, что бесконечность нулевого натурального ряда будет соответствовать некоторому конечному числу М* сверхаддитивного ряда, т.е. 0 = М*. В этом случае мы могли бы взять два элемента 0-ряда, например, n0 и m0, сопоставить им, используя соответствующие отображения, элементы на шкале сверхаддитивного ряда и сложить их по законам сверхаддитивности. Поскольку сверхаддитивный ряд выходит за границы 0-бесконечности, то мы вполне можем подобрать такие n0 и m0, что их сверхаддитивная сумма окажется больше М*, т.е. уже не будет конечным 0-элементом. Так сумма нулей даст более, чем ноль. Можно предполагать, что именно такого вида эффект мог бы лежать в основе образования ненулевой протяженности из элементов-нулей, и в более общем случае такова могла бы быть сверхаддитивная природа разного рода целых, обладающих новым (эмерджентным) качеством, которое отсутствует у элементов целого, и с точки зрения такого качества целое есть более, чем сумма своих элементов. В таких примерах мы имеем дело с разного рода приложениями сверхаддитивной арифметики.