Другие журналы на сайте ИНТЕЛРОС

Журнальный клуб Интелрос » Credo New » №3, 2012

Александр Анисов
Генетический метод построения теорий
Просмотров: 1902

Anisov Alexander 

Genetic method of construction of theories

Summary: In article the genetic method of construction of theories in its comparison to an axiomatic method is considered. The list of allowable means of constructions and reasonings essentially extends within the framework of a genetic method. It will be connected to refusal of requirements of constructability and finiteness and transition from constructive logic and effective computability to classical logic and non-standard models computability in which are supposed transfinite objects. Attempt of a refutation of dogma about unsubstantiality of axioms is undertaken.

Key words: the theory, a genetic method, an axiomatic method, computability, an axiom.

 

 

Генетический метод построения теорий*

 

В научной и философской литературе понятием теория сплошь и рядом злоупотребляют, распространяя его чуть ли не на любые текстовые оформления каких угодно идей. Прежде всего, отметим, что сам термин «теория» (если не брать в расчет логические сочинения) понимается в литературе не только в самых разных смыслах, но, что еще хуже, зачастую понимается туманным образом. Например, В.С.Швырев дает такие определения: «ТЕОРИЯ…, в широком смысле – комплекс взглядов, представлений, идей, направленных на истолкование и объяснение к.-л. явления; в более узком и спец. смысле – высшая, самая развитая форма организации науч. знания, дающая целостное представление о закономерностях и существ. связях определ. области действительности – объекта данной Т»[1]. Данные два определения, в отличие от им подобных, обладают разве что достоинством лаконичности. Но нет никакого способа применить эти и аналогичные определения на деле, для практического решения вопроса, представляет ли некоторый текст теорию, или нет. Между тем, мы нуждаемся в точном и недвусмысленном понятии «теория». В противном случае ни о какой возможности достижения однозначного взаимопонимания посредством теории говорить не приходится.

Мы намереваемся исходить из разработанного в современной логике понятия теории. Здесь теорией называют множество суждений (утверждений, высказываний), замкнутое относительно логического следования (семантическое определение) или логического вывода (синтаксическое определение). В обоих вариантах теория развертывается посредством выведения суждений из суждений, образуя потенциально бесконечную систему выводов или доказательств. Обычно считается, что такое выведение начинается с принимаемых без доказательств утверждений – аксиом. Но, во-первых, представление о бездоказательности аксиом является неверным как в формальном, так и в эпистемологическом смысле. Во-вторых, аксиоматический метод не является единственным. Существует еще генетический метод построения и развертывания теорий, при котором суждения выводятся на основании мысленных экспериментов с точно заданными формальными объектами. Планируется показать несостоятельность догмы о бездоказательности аксиом и продемонстрировать особенности работы генетического метода.

Генетический метод отличен от аксиоматического, во-первых, по способу введения объектов теории, и, во-вторых, по логической технике, применяемой в теории. При аксиоматическом построении теории ее объекты не являются исходными образованиями. В качестве таковых выступают высказывания об этих объектах. Соответственно, логические операции осуществляются над высказываниями теории. Генетический метод построения теории предполагает фиксацию некоторой совокупности объектов и системы правил преобразований объектов. Новые объекты теории строятся из исходных посредством таких преобразований. Обычно выдвигается требование, чтобы объекты были конструктивно заданны, а каждое правило преобразований объектов было эффективным[2]. Существенное отличие предлагаемого здесь обобщенного генетического метода заключается в отказе как от требования конструктивности исходных объектов, так и от требования эффективности правил их преобразования. Это будет связано с переходом от конструктивной логики и эффективной вычислимости к классической логике и нестандартным моделям вычислимости, в которых допускаются трансфинитные объекты. Такой переход позволяет значительно расширить область применения генетического метода. Ведь при этом не возбраняется использовать конструктивное объекты и эффективные правила преобразования. Вместе с тем, появляются принципиально новые возможности введения в генетическую теорию неконструктивных объектов и неэффективных правил.

В связи со сказанным возникает важнейший вопрос о составе генетической теории. Какого рода сущности составляют «тело» развертывающейся генетической теории? Мы упоминали, что аксиоматические теории состоят из утверждений. Есть ли основания для вывода, что с генетическими теориями дела обстоят иначе? Поставим этот вопрос более конкретно: из чего могла бы состоять генетическая теория? В нашем распоряжении имеется всего два рода исходных сущностей: объекты и утверждения. Композиции объектов и последовательности утверждений (в том числе являющиеся доказательствами) появляются потом. Отсюда три возможных варианта ответа на вопрос об исходных элементах генетической теории: (1) генетическая теория состоит из объектов; (2) генетическая теория состоит из утверждений; (3) генетическая теория состоит из комбинации объектов и утверждений.

В наше компьютеризированное время ответ удобнее искать в генетической теории вычислимости. Проще это сделать на примере МНР-вычислимости, эквивалентной вычислимости по Тьюрингу. Рассмотрим идеальный компьютер, который называется машиной с неограниченными регистрами (МНР). МНР содержит бесконечное число регистров или ячеек памяти, обозначаемых через R1, R2, R3..., Rn, ... . Каждый из регистров Ri в любой момент времени содержит некоторое натуральное число, обозначаемое через переменную ri. Кроме того, имеется пишущая головка, которая, перемещаясь от регистра к регистру, может изменять содержимое регистра, выполняя некоторые команды или инструкции. Графически МНР можно изобразить следующим образом.

Команды, выполняемые пишущей головкой, очень просты и сводятся к следующим типам.

Команда обнуления. Для каждого n > 0 может быть выполнена команда обнуления Z(n). Команда Z(n) заменяет содержимое регистра Rn на 0 и не затрагивает содержимое других регистров.

Команда прибавления единицы. Для каждого n > 0 выполняется команда S(n). Результат применения команды состоит в увеличении на 1 содержимого регистра Rn. (Другие регистры не затрагиваются).

Команда условного перехода. Для всех m > 0, n > 0 и q ³ 0 имеется команда J(m, n, q). Встретив эту команду в программе, МНР сравнивает содержимое регистров Rm и Rn. Если rm = rn, то МНР переходит к выполнению команды номер q; если команда с номером q отсутствует, МНР завершает работу. Если же rm ¹ rn, МНР переходит к выполнению следующей по порядку команды программы (если таковая имеется).

МНР-программа – это непустая конечная последовательность команд описанных трех типов. Определим понятие Выполнение на МНР программы p.

  1. Вначале выполняется первая команда из p.
  2. Если i-тая команда из p есть Z или S, то следующей выполняется команда i+1; в случае ее отсутствия выполнение p заканчивается. Если i-тая команда из p есть J, то следующая команда выполнения или остановка выполнения p определяется в соответствии с J (см. выше).
  3. Никакие иные способы выполнения p, кроме указанных в 1 и 2, невозможны.

Если выполнение p завершается, то результатом выполнения p называется число r1, содержащееся в первом регистре R1.

Рассмотрим следующую простую МНР-программу p в предположении, что содержимое всех регистров, за исключением, возможно, первых двух, равно 0.

  1. J(3,2,0)
  2. S(1)
  3. S(3)
  4. J(1,1,1)

Какие построения числовых объектов происходят в данном случае? Вначале сравнивается содержимое третьего и второго регистров. По условию, r3 = 0. Если r2 = 0, то r3 = r2 и выполнение передается на команду с номером 0. Поскольку команды с таким номером нет, выполнение p завершается с результатом r1. Если r2 ¹ 0, то r3 ¹ r2 и произойдет переход к команде 2, затем 3. В результате содержимое регистров R1 и R3 будет увеличено на 1. Далее будет выполнена команда 4. Так как в любом случае r1 = r1, МНР вернется к выполнению команды 1. И т.д.

Мы только что описали в обобщенной форме работу программы p. Это описание ни в коем случае не следует считать частью генетической теории. Более того, в принципе, никаких описаний не нужно. Компьютер МНР и программа p должны мыслиться как конкретно наличные, некие данности. В этом смысле МНР будет выполнять программу p независимо от того, правильно или неправильно мы описываем процесс выполнения. Описывая выполнение p, мы как бы осуществляли работу за МНР. При этом мы можем ошибиться, но МНР, – в силу своей идеальности, – никогда! У нас нет права рассматривать ситуации, когда МНР должна, скажем, обнулить регистр, но что-то ей помешало. Вообще, МНР (в отличие от физических компьютеров) не способна зависнуть, какие бы программы она не выполняла (выполнение может закончиться или нет, приняв форму бесконечного цикла; но это особая тема).

Выполнение программ бессмысленно до тех пор, пока им не найдено теоретическое объяснение (напомним, что одной из главных функций теории как раз является объяснение происходящего). Но объяснение неизбежно потребует фиксации некоторых утверждений. В нашем случае – утверждений о числах. Например, можно принять следующее высказывание (А): «Данная программа p вычисляет функцию сложения х + у на натуральных числах». Это уже утверждение. И если мы хотим отнести это утверждение к некоторой теории, оно должно быть доказано. Аналогичным образом можно построить МНР-программы, которые будут вычислять другие арифметические функции. И вновь потребуются доказательства, что они это действительно делают. Далее, используя числовое кодирование, доказывается МНР-вычислимость операций на нечисловых предметных областях. Например, можно доказать, что существуют МНР-программы, определяющие, будет ли число кодом правильно построенной формулы логики высказываний, кодом доказательства в исчислении предикатов и т.п. Наконец, в генетической теории МНР-вычислимости доказывается, что не существует МНР-программ, решающих некоторые четко поставленные задачи. Так, не существует МНР-программы, которая бы для произвольной формулы А определяла, будет А доказуема в исчислении предикатов, или нет. Не существует МНР-программы, определяющей, остановится ли выполнение произвольной МНР-программы (неразрешимость проблемы останова). И т.д.

В результате процесс развертывания генетической теории МНР-вычислимости идет в форме доказательств все новых утверждений, причем, как правило, с наращиванием сложности доказательств. Построения МНР-программ осуществляются, если только предполагается использовать эти программы в доказательствах тех или иных утверждений, и практически никогда (за исключением разве что иллюстративных целей) не делаются просто так, ради построения программы самой по себе. Но надо отчетливо понимать, что само по себе построение абстрактных объектов, если о них ничего доказательно не утверждается, бессмысленно. Действительно, каков возможный смысл комбинирования абстрактных объектов, если при этом либо вообще о них ничего не утверждается, либо утверждается нечто бездоказательное? Если из генетической теории убрать допустимые логические средства рассуждений и оставить только процедуры построения объектов, от теории не останется ничего.

Отсюда приходится из трех возможных ответов на вопрос о составе генетической теории принять второй вариант: генетическая теория состоит из доказанных утверждений. При этом в качестве одного из средств доказательства (в специфически генетическом смысле этого слова) используются построения объектов теории. Но ни при каких обстоятельствах сами по себе построения объектов не являются самостоятельным элементом генетической теории, поэтому генетическую теорию нельзя представить в виде комбинации объектов и доказательств. Представим себе, что программист одну за одной строит непонятно (в том числе ему самому) для чего предназначенные компьютерные программы и требует платить ему зарплату только за то, что эти программы работают. Нелепость подобных требований очевидна. Так почему же применительно к генетическим теориям аналогичные нагромождения построений объектов, даже если они правильны, должны оцениваться иначе, чем бессмысленные?

Между понятиями вычисление, рассуждение и доказательство существует любопытное различие, которое, насколько нам известно, ускользало от внимания философов и логиков. Сформулируем его в виде трех тезисов:

  1. Вычисление как таковое не может быть правильным или неправильным;
  2. Рассуждение бывает правильным, бывает неправильным;
  3. Доказательство – обязательно правильное рассуждение (иначе оно не доказательство).

Первый тезис кажется тривиально ошибочным. Разве школьник, который пишет 2 ´ 2 = 4, не вычисляет правильно, а школьник, утверждающий 2 ´ 2 = 5, не совершает ошибку в вычислении, превращая его в неправильное? С логических позиций, речь идет о двухместной функции ´(х, у), или, в другой форме записи, (х ´ у). Какова область определения и область значений этой функции, и какова она сама – вопрос открытый. В принципе, ничто не мешает определить функцию (х ´ у) на числах от 1 до 9, положив при этом 2 ´ 2 = 5. Другое дело, что заранее, до решения задачи, было положено 2 ´ 2 = 4. Ошибка, стало быть, не в том, что вычисление школьника якобы неправильное, а в том, что им вычислялась не та функция, которая требовалась. Но между понятием вычисление и понятием вычисление данной конкретной функции f – дистанция огромного размера.

Легче понять сказанное в рамках генетической теории МНР-вычислимости. Там любая непустая последовательность инструкций приводит на любом входе к реализации некоторого вычисления. Какие из них правильные, а какие неправильные? Вопрос на самом деле бессмысленный. Каждое МНР-вычисление реализует некоторую арифметическую функцию. А разве функции бывают правильными или неправильными? Можно было бы, например, объявить заканчивающиеся вычисления правильными, а не заканчивающиеся – неправильными. Но как тогда быть с МНР-вычислением деления 5 : 3 в целых числах? Очевидно, что МНР-программа, вычисляющая стандартную функцию (х : у), на входе х = 5 и у = 3 не должна выдавать никакого целочисленного результата, т.е. не должна заканчивать вычисление! А если некоторая МНР-программа p на входе х = 5 и у = 3 выдаст, допустим, результат 0, то это означает лишь то, что p вычисляет не стандартную функцию деления, а какую-то другую функцию. И эта другая функция может быть вполне осмысленной. Например, в логике используется нестандартная функция сложения, которая дает 1 + 1 = 0.

Сказанное подтверждается реальной историей математики и вычислительной техники. Разумеется, случаи вопиющих ошибок имеют место. В.Ф.Турчин, говоря о познании древних в геометрии, пишет: «Площадь неправильного четырехугольника, как можно судить по одному сохранившемуся документу, вычислялась так: полусумма двух противолежащих сторон умножалась на полусумму двух других противолежащих сторон. Формула эта грубо неверна (за исключением того случая, когда четырехугольник прямоугольный и когда она не нужна). Ни в каком разумном смысле ее нельзя назвать даже приближенной»[3]. Ошибка здесь вовсе не в том, что запрещено вычислять указанные полусуммы, что это будет якобы неправильное вычисление, а в том, что данное вычисление не дает площади неправильного четырехугольника.

Вопрос о том, что точнее – процессор Pentium или счеты, в середине 1994 г. звучал вполне серьезно. Наивная вера в непогрешимость компьютеров была поколеблена сообщениями о том, что выпущенная в указанном году версия процессора Pentium содержала неприемлемые ошибки в арифметическом сопроцессоре. Так, вычисление выражения (4195835 / 3145727) * 3145727 - 4195835 на калькуляторе системы Windows давало результат -256, тогда как стандартные функции деления (/), умножения (*) и вычитания (–) обращают выражение (x / y) * yx в ноль при любых x и у. Вновь ошибка заключалась не в том, что арифметический процессор неправильно вычислял, а в том, что он вычислял не ту функцию, которая требовалась.

В отличие от тезиса 1, тезисы 2 и 3 соответствуют сложившимся в логике классическим представлениям о том, что такое рассуждение и что такое доказательство, поэтому развернутых комментариев здесь не требуется. Сопоставляя тезисы 1 и 3, мы убеждаемся, что смешение вычислений, с одной стороны, и рассуждений и доказательств, с другой, – является ошибочным (хотя это отнюдь не тривиальная ошибка, лежащая на поверхности). Вычисления порождают конструктивные объекты, и только. Далее требуется об этих конструктивных объектах рассуждать. Но рассуждать можно неправильно. И лишь в том случае, когда рассуждения приобретают статус доказательств, появляется повод говорить о теории конструктивных объектов, т.е. о генетической теории.

Неверное понимание генетического метода построения теорий имеет место в реальных логических и философских работах. Казалось бы, имеющиеся разногласия в трактовках генетического метода построения теорий имеют узко логических характер, и касаются сугубо внутренних вопросов локальной области логики. Однако, это не так. Дискуссии о генетическом методе неожиданно быстро вышли не только на уровень проблем понимания природы логического, но и за их пределы. Фактически, речь идет о попытке фундаментальной переоценки итогов интеллектуального развития древних цивилизаций с последующими выводами по поводу современной ситуации в философии и науке.

Так, А.А.Крушинских в своих недавних логических исследованиях прямо апеллирует к концепции генетического метода, претендуя на то, чтобы положить эту концепцию в основание своих идей. Главный предмет изучения для А.А.Крушинского – формы рассуждений в Древнем Китае. Сразу скажем, что Андрей Андреевич, будучи профессиональным синологом и логиком, осуществил блестящий анализ особенностей рассуждений древне-китайских мыслителей, привлекая для этого разнообразный арсенал научных методов: лингвистических, исторических и логических. Однако полученные им конкретные результаты передового научного уровня находятся в резком диссонансе с итоговым выводом о существовании в Древнем Китае логики, по уровню развития и значимости якобы не уступающей древнегреческой логике (или даже превосходящей ее). Концепция, изложенная в тексте докторской диссертации по логике «Логика древнего Китая» (защищенной в 2006 г.), существенно использует особым образом понимаемую идею генетического метода в обосновании китайской логики[4].

Оказывается, – утверждает А.А.Крушинский, – китайская логика возникла еще в древности, но строилась она, в отличие от греческой логики, в рамках не аксиоматического, а генетического метода. Такое утверждение выглядит вполне допустимым и может быть принято как первоначальная гипотеза. Остается эту гипотезу либо подтвердить конкретными историческими фактами, либо опровергнуть как несоответствующую реальной истории китайской мысли. В докторской диссертации А.А.Крушинский приходит к выводу, что рассуждения древних китайских мудрецов носили ярко выраженный генетический характер. Короче говоря, древнекитайская логика существовала, но была не аксиоматической теорией (как у греков), а генетически построенной теорией[5].

Так это или не так? Это так, если пользоваться тем усеченным пониманием генетического метода построения теорий, которым пользуется А.А.Крушинский. И это не так, если взять генетический метод в его целостности. Каков же характер упомянутого усечения генетического метода? Он состоит в отрыве построений конструктивных объектов от генетической теории этих объектов с последующей элиминацией теории. В результате генетическая теория отождествляется с построением конструктивных объектов.

Выше достаточно подробно говорилось о том, почему редукция генетической теории к объектному уровню разрушает теорию, и повторяться мы не будем. Вместо этого констатируем исторический факт, со всей научной объективностью и обстоятельностью установленный А.А.Крушинским в результате исследований древнекитайских рассуждений: никаких теорий, ни аксиоматических (что давно известно), ни генетических (что вытекает из рассмотрения генетического метода) древние китайцы не создавали. В частности, и логической теории у них не было. Они ничего не доказывали. Более того, вообще не испытывали потребности в доказательствах (почему – особый вопрос). А без доказательств о теориях говорить не приходится.

Следует признать, что в научной философии за пределами проблематики обоснования конструктивной математики, искусственно интеллекта (ИИ) и анализа компьютерных наук по-прежнему господствует ориентация на аксиоматический метод построения теорий. Исключения имеются, но не всегда удачные, как было показано применительно к вопросу о древне китайской системе рассуждений. Причина такого положения дел в философии заключается, по-видимому, в сложности и непривычности применения генетических построений при обсуждении философских проблем, особенно традиционных. Отдельным случаем прямого использования генетического метода в философии является разработанная автором теория трансфинитной абстрактной вычислимости (конкретно, АВТ-вычислимости), с помощью которой удалось объяснить некоторые загадки феномена течения времени и по-новому взглянуть на апории Зенона о движении[6].

Что касается собственно логических исследований, то в этой сфере генетический метод поистине процветает. Построение логических объектов (языков, исчислений, теорий и т.п.) конструктивными средствами с последующим доказательством метатеорем о таких объектах – один из основных инструментов в арсенале работающего современного логика. При этом в той или иной степени присутствует осознание того факта, что между таким способом развертывания логической теории и применением аксиоматически заданных теоретико-множественных или теоретико-категорных семантических каркасов имеется существенное различие в степени обоснованности. Ряд логиков предпочитает всячески избегать выхода в подобные каркасы, ссылаясь на неопределенность их предметных областей. Фактически они выражают приверженность единственно генетическому методу создания логических теорий.

Более того, возникает новое понимание предмета логики, которое включает в себя генетически заданную теорию эффективной вычислимости, что символически выразилось в издании третьей части справочной книги по математической логике, посвященной теории рекурсии[7]. Оригинальное однотомное издание, получившее признание во всем цивилизованном мире, вышло на английском языке в 1977. Один из авторов этой части, Г.Эндертон, пишет по поводу предмета логики: «Почему теория рекурсии является частью математической логики? Если бы логики не изобрели рекурсивных функций, то вычислители позднее все равно бы пришли к этому понятию. Но то, что именно логики изобрели рекурсивные функции, не является простой исторической случайностью[8]». Но у нас до сих пор некоторые логики не включают генетическую теорию рекурсии в предмет логики.

Расширение поля применимости генетического метода не могло не породить новых проблем. Одной из таких проблем является дилемма конструктивизм – классика. Речь идет о положении, согласно которому генетическому методу неизбежно сопутствует тот или иной вариант конструктивной логики и конструктивного понимания истины, тогда как теоретико-множественной системе мышления соответствует классическая логика и классическое понимание истины. В действительности применение генетического метода развивается таким образом, что наряду с конструктивными способами рассуждений о генетически заданных объектах, к ним применяются и обычные, классические, способы рассуждений и представления об истине. Так, в доказательствах существования конструктивных объектов на практике широко применяется тезис А.Черча. Но из самого этого тезиса никак нельзя извлечь конкретный способ построения требуемого объекта. В результате имеет место доказательство «чистой теоремы существования». Такие доказательства допускаются классической логикой, но не приемлемы для любого варианта конструктивизма. Ведь между предъявлением конструктивного объекта и абстрактными доводами в пользу его существования – различие принципиального для конструктивиста характера.

Например, в книге Катленда[9], посвященной МНР-вычислимости и целиком основанной на генетическом методе построения теории, читатель вообще не найдет сколько-нибудь сложных МНР-программ. Дело ограничивается классическими доказательствами их существования со ссылкой на тезис Черча. И это, повторим, весьма распространенная практика. Кроме того, как мы видели, лента памяти МНР-компьютера содержит актуально бесконечное количество регистров, что вновь не совместимо с идеями конструктивизма, принимающего абстракцию потенциальной бесконечности.

Особый круг проблем генетического метода связан с историей его возникновения и развития. В частности, В.А.Смирнов считал, что корни генетического метода уходят вглубь веков, и что он фактически является ровесником аксиоматического метода, поскольку также возник в античности. Другое дело, что генетический метод не стал господствующим. Говоря об античности, Владимир Александрович выделял три концепции формирующихся дедуктивных доказательств: платоновскую, аристотелевскую и евклидову. Первые две концепции явились прототипами аксиоматического метода, тогда как третья выступила прототипом генетического метода. Это неожиданное заявление, поскольку в философской и логической литературе давно утвердилась точка зрения, согласно которой именно Евклид был создателем первой разработанной аксиоматической системы – геометрии, носящей его имя. Еще более неожиданным выглядит утверждение, что Р.Декарт также может рассматриваться как один из основателей генетического метода. В.А.Смирнов приводит ряд аргументов в пользу выдвинутых им исторических положений, хотя в целом рассматривает их как «правдоподобные», но «заслуживающие внимания»[10]. Бесспорно, данный вопрос нуждается в дальнейшем специальном исследовании.

Между генетическим и аксиоматическим методами построения теории не существует непроходимой пропасти. Аксиоматически заданные теории могут использоваться как элементы генетических построений (как в генетической теории АВТ-вычислимости), а генетический метод конструирования объектов может применяться в рамках аксиоматической теории (как в геометрии Евклида). Еще один момент связи между аксиоматическим и генетическим методами возникает по поводу природы аксиом. Можно сказать, что аксиомы, в отличие от их следствий, задаются не аксиоматически, а конструируются генетически. Вообще, об аксиоматическом методе в литературе сказано так много, что невольно возникает иллюзия его полного понимания. Между тем, в действительности в этой области имеются не только существенные неясности, но и прямые заблуждения, одно из которых приняло форму наукообразной догмы: аксиомы – это утверждения, принятые без доказательств. Как и положено в случае догм, принимающие их не способны взглянуть на свою веру критически, даже если догмы абсурдны или ведут к абсурду. Так и в рассматриваемой ситуации.

Реализацию аксиоматического метода обычно сводят к двум шагам. Первый шаг состоит в выборе некоторых утверждений и принятии их без доказательств в качестве аксиом строящейся теории. Второй шаг предполагает развертывание теории посредством доказательств следствий из аксиом. Например, возьмем в качестве аксиом суждения Каждый человек – смертен и Сократ – человек. Затем выведем заключение: Следовательно, Сократ – смертен. В соответствии с догмой, аксиомы принимаются без доказательств, тогда как заключительное суждение обретает статус доказанного. Получается, что в результате какого-то поистине таинственного и чудесного акта недоказанное порождает доказанное. Будто из ничего возникает нечто. Но, коль скоро в качестве аксиом взято не доказанное, то и выводы из такой основы также не доказаны! Тогда в аксиоматической теории с использованием аксиом вообще ничего нельзя доказать. Абсурдность полученного заключения очевидна.

Избежать абсурда можно только одним способом – признать аксиомы доказанными утверждениями. Причем доказанными как аксиоматически, так и генетически! Теперь свойство доказанности в случае верного применения логических законов будет «перетекать» от аксиом к следствиям из них, будет наследоваться следствиями. Именно так и поступают в современной логике, в которой доказательством в аксиоматической системе называют непустую конечную последовательность утверждений

  1. А
  2. В
  3. С

...

n. D,

каждое из которых есть либо аксиома, либо получено из предыдущих утверждений последовательности по правилам логики. Последнее утверждение D доказательства считается доказанным и называется теоремой системы.

Пусть в системе имеется аксиома F. В соответствии c определением, одноэлементная последовательность

  1. F

является доказательством утверждения F, т.е. F – теорема системы.

Иными словами, аксиомы отнюдь не принимаются без доказательств, но все-таки доказываются, хотя и тривиально просто, за один шаг. Если угодно, аксиомы доказывают сами себя. Возразят, что тривиальность таких доказательств фактически равнозначна отсутствию доказательств, так что настаивание на тезисе о доказуемости аксиом являет собой пример бесплодной схоластики. На самом деле только что введенная трактовка аксиом позволяет строго отличить их от тех элементов рассуждений, которые в логике называют допущениями, посылками или гипотезами (все эти три термина можно рассматривать в обсуждаемом контексте как синонимы). Чем отличается допущение от аксиомы? В первую очередь тем, что в качестве допущений можно брать любые утверждения языка рассматриваемой аксиоматической системы. Однако никакая последовательность допущений не является доказательством.

Приведенные аргументы против догмы о бездоказательности аксиом имели логический характер. Наряду с логическими, имеются и генетические возражения, о которых скажем кратко. В реальном научном познании поиск аксиом может быть очень трудным. Примеры трудного становления и эволюции аксиоматических систем в науке достаточно многочисленны, чтобы можно было прийти к выводу о том, что выложенная «на блюдечке» аксиоматическая система – лишь вершина айсберга, под которой скрыта сложная работа по конструированию требуемой аксиоматики. Зато пользующийся данной аксиоматической системой может находиться в блаженном неведении в отношении исторически имевших место трудностях и проблемах в обосновании аксиом. Это дало повод Б.Расселу остроумно заметить, что использование готовой аксиоматики представляет из себя род кражи. Таким образом, аксиомы в значимых аксиоматических научных теориях, как правило, имеют весомое генетическое обоснование. Степень обоснования может варьироваться, приближаясь в некоторых случаях к практически несомненным аксиоматическим утверждениям, что может считаться генетическим доказательством истинности аксиом. Тем самым не только с логической, но и с генетической позиции догма о бездоказательности аксиом не выдерживает критики.

 


* Работа выполнена при поддержке РГНФ, проект № 12-03-00319 а.

[1] Философский энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1989. 815 с. С. 649.

[2] Гильберт Д, Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. 560 с. Смирнов В.А. Генетический метод построения научной теории // Философские вопросы современной формальной логики. М.: АН СССР, 1962. 364 с. С. 263–284. Смирнов В.А. Алгоритмы и логические схемы алгоритмов // Логико-философские труды В.А.Смирнова. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 592 с. С. 402–416.

[3] Турчин В.Ф. Феномен науки: Кибернетический подход к эволюции. Изд. 2-е. М.: ЭТС, 2000. 368 с. Гл.9. § 6.

[4] В настоящее время А.А.Крушинский подготовил к печати монографию по рассматриваемой проблеме.

[5] Крушинский А.А. Логика древнего Китая: автореф. дис. на соиск. уч. ст. д-ра филос. наук / МГУ. М., 2006. 42 с. С. 13–14 и др.

[6] Анисов А.М. Феномен течения времени. Логико-философский анализ. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. 392 с.

[7] Справочная книга по математической логике:В 4-х частях. Ч. III. Теория рекурсии. М.: Наука, 1982. 360 с.

[8] Указ. соч. С. 28–29.

[9] Катленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций. М.: Мир, 1983. 256 с.

[10] Смирнов В.А. Генетический метод построения научной теории. С. 283.



Другие статьи автора: Анисов Александр

Архив журнала
№4, 2019к№3, 2019№2, 2019№1. 2019№4, 2018№3, 2018№2, 2018№1, 2018№4, 2017№2, 2017№3, 2017№1, 2017№4, 2016№3, 2016№2, 2016№1, 2016№4, 2015№2, 2015№3, 2015№4, 2014№1, 2015№2, 2014№3, 2014№1, 2014№4, 2013№3, 2013№2, 2013№1, 2013№4, 2012№3, 2012№2, 2012№1, 2012№4, 2011№3, 2011№2, 2011№1, 2011№4, 2010№3, 2010№2, 2010№1, 2010№4, 2009№3, 2009№2, 2009№1, 2009№4, 2008№3, 2008№2, 2008№1, 2008№4, 2007№3, 2007№2, 2007№1, 2007
Поддержите нас
Журналы клуба