Другие журналы на сайте ИНТЕЛРОС

Журнальный клуб Интелрос » Credo New » №4, 2014

Вячеслав Моисеев
Исчисление форм как проект математической философии
Просмотров: 1652

Моисеев Вячеслав Иванович

Московский государственный медико-стоматологический университет им. А.И.Евдокимова

доктор философских наук, профессор кафедры философии, биомедицинской этики и гуманитарных наук

 

Moiseev Viacheslav Ivanovich

Moscow State Dental University

PhD, professor of the Chair of Philosophy, Biomedical Ethics and Human Sciences

 

E-Mail: vimo@list.ru

УДК – 160.1

 

Исчисление форм как проект математической философии

Аннотация: Статья посвящена исследованию не слишком известного в отечественной философии направления так называемого «исчисления форм», основанного британским математиком и логиком Дж.Спенсером-Брауном. Рассматриваются основные идеи и положения данного направления, проводятся параллели со структурным подходом, даётся новая интерпретация исчисления форм как структурной версии интегрального подхода в современной философии.

Ключевые слова: форма, исчисление форм, собственная форма, субъектные онтологии, инвариантность.

 

Calculus of forms as a project of mathematical philosophy

Summary: The article investigates the so-called «calculus of forms» based by British mathematician and logician G.Spencer-Brown. The basic ideas and the provisions of this direction, parallels with structural approach are investigated, a new interpretation of the calculus of forms as a structural version of the integral approach in modern philosophy is given.

Keywords: form, calculus of forms, eigen form, subject ontology, invariance.

 

Исчисление форм как проект математической философии[1]

 

  1. Исчисление форм: основные идеи

 

В этой статье я хотел бы отозваться на одно достаточно известное на Западе философско-математическое направление, которое носит название «исчисление форм». Основоположником этого направления считается британский математик и логик Спенсер-Браун, который в 1969 году издал книгу «Законы формы»[2]. В этой работе он предложил вариант некоторого первичного знакового исчисления, которое, с его точки зрения, является фундаментальным для разного рода рациональных традиций в науке и философии. Под «формой» в этом случае понимается объект (денотат), который обозначен тем или иным выражением в исчислении форм. Позднее было показано, что в качестве семантики спенсер-брауновского варианта исчисления форм может выступить простейшая булева алгебра на двух элементах 1 и 0.

Тем не менее, идея исчисления форм оказалась привлекательной, продолжая своё развитие в исследованиях последующих учёных. В частности, можно указать на работы австрийского физика и математика Хайнца фон Фёрстера (Heinz von Foerster), который предложил рассматривать варианты исчисления форм в приложении к субъектным[3]структурам. В этом случае была выдвинута идея, что первичной средой бытия оказывается среда сознания, которая постепенно дифференцируется и интегрируется, и в ней выделяются области устойчивости и инвариантности, которые выражают ту или иную «реальность»[4]. Это могут быть объекты внешнего мира и образования сознания.

Фон Фёрстер предположил, что формирование реальности в первичной субъектной среде может быть выражено как решение задач вида f(x) = x – так называемых задач на собственные значения оператора f. Тот х, который оставляется оператором f неизменным, выражает разного рода реальность в субъектной среде, а сам оператор f представляет некоторую субъектную активность. Фон Фёрстер выдвинул идею «кибернетики 2-го порядка» («кибернетики-2»), которая должна строиться как версия исчисления субъектных форм с субъектными операторами и задачами для них на собственные формы[5]. В частности, в кибернетике-2 должны возникнуть средства, позволяющие включить субъекта исследования в состав той теории, которую он использует. В этом смысле кибернетика-2 получила дополнительный рефлексивный смысл самореферентного знания – знания, обращённого на себя и своего субъекта.

Соединение исчисления форм и задач на собственные значения придало новый импульс развития этому направлению, которое затем разрабатывалось рядом исследователей, в частности Луисом Хиршем Кауффманом (Louis Hirsch Kauffman), приводящим множество остроумных задач на собственные формы для решения тех или иных философских проблем[6].

 

  1. Форма как абстрактная структура

 

Отзываясь на столь интересное направление «исчисления форм», мне хотелось бы сделать определённый шаг, чтобы эти идеи ещё раз прозвучали в отечественной традиции философско-логической мысли, и отчасти попытаться более широко осмыслить этот феномен, соотнося его с собственными исследованиями в так называемой «философии неовсеединства»[7].

В первую очередь хотелось бы соотнестись с понятием «формы». Понимая, что здесь существует давняя метафизическая традиция, восходящая ещё к древнеиндийской и античной философии, я предлагаю остановиться на более операциональном определении понятия формы, которое находится вполне в духе логико-философской стилистики «исчисления форм».

Отталкиваясь от структуралистской методологии математики, можно в общем случае называть формой абстрактную структуру S = <M,F,P>, которая представляет собою единство некоторого множества элементов М, заданных на этих элементах функций f из множества функций F и предикатов р из семейства предикатов Р. Предполагается также задание своего языка L, в рамках которого строится теория Т структуры S. Это вполне стандартное определение структуры, восходящее к теоретико-множественным основаниям математики. Абстрактность структуры S предполагает, что в первую очередь элементы множества М не являются эмпирически наблюдаемыми, но представляют собою чистые абстракции. Таковы, например, натуральные числа как идеальные объекты. То же требование абстрактности применимо в этом случае и для множеств функций F и предикатов Р[8].

В отличие от абстрактной структуры S, могут существовать разного рода эмпирические структуры Se = <Me,Fe,Pe>, в которых, по крайней мере, множество элементов Мепредставляет собою множество эмпирических объектов, способных наблюдаться внешними органами чувств[9]. Обычно для абстрактной структуры S существует множество эмпирических структур Se, которые, по крайней мере, частично подобны S, или, как говорят в математике, гомоморфны S.

Например, то же абстрактное множество натуральных чисел с операциями сложения, умножения и т.д. может быть частично реализовано при счёте на множестве эмпирических объектов – яблок, деревьев и т.д. В отличие от абстрактной теории натурального числа, эмпирическая структура будет содержать лишь конечное число эмпирических элементов и окажется только частично подобной (гомоморфной) абстрактной структуре.

В общем случае наличие гомоморфных эмпирических реализаций Sе для абстрактных структур S составляет основу эмпирической приложимости абстрактных (чистых) структур к эмпирической реальности.

Рассматривая некоторую эмпирическую структуру Se, мы можем под формой этой структуры понимать абстрактную структуру S, которая находится в гомоморфном отношении с Sе. Саму эмпирическую структуру Sе можно в этом случае, вполне в духе Аристотеля, понимать как сущее – единство формы и материи. Под материей структуры Sе можно понимать множество Ме – множество эмпирических элементов структуры Sе.

В этом случаясь, возвращаясь к идеям исчисления форм, можно вполне в духе присущего ему философско-математического структурализма предполагать, что в качестве форм здесь понимаются разного рода абстрактные (чистые) структуры S, которые могут быть абстрагированы из разного рода эмпрических сущих Sе.

 

  1. Холоформа и мероформа

 

Следующий момент, на который хотелось бы обратить внимание, состоит в том, что в общем случае форма может определяться двояко:

  • как некоторое дифференцированное целое (многоединство) на определённом множестве элементов, что вполне соответствует идее структуры как множества элементов М, интегрированного разного рода операциями f и предикатами р. В этом случае форма порождается как бы «снизу вверх» — от множества элементов к разного рода единствам на этих элементам. Такое понимание формы можно называтьхолоформой – формой, порождённой как целое (греч. «холос») на своих элементах;
  • как некоторая часть надстоящего целого. В этом случае форма как бы «вырезается» из целого наложением некоторых «надрезов-границ», которые отделяют данное от иного, как бы «рассекая-дифференцируя» некоторый единый фон бытия. В этом случае определить форму означает задать ту архитектуру границ, наложением которой на единое получается данная форма. Такое понимание формы можно было бы назвать мероформой – формой, порождённой как часть (греч. «мерос») некоторого вышестоящего целого-единого.

Конечно, эти два понимания формы не являются исключающими, но взаимно друг друга дополняют. Одна и та же форма является и целым на некоторых элементах, и частью объемлющей целостности. Другое дело, что в рамках того или иного теоретического подхода, исследующего феномен формы (например, в исчислении форм), может делаться акцент в большей степени на холистические или мереологические определения формы, что требует самостоятельного исследования и обоснования.

 

  1. Аксиоматика исчисления форм

 

Чтобы определить, какого рода понимание формы присуще исчислению форм, давайте вкратце обратимся к версии этого исчисления, предложенной Спенсером-Брауном.

Он использует в своём исчислении один первичный знак «угол», который означает идею «различия» (distinction) – как бы некоторую границу, которая отделяет данное от иного. «Угол» — это половина границы квадрата, его верхняя и правая стороны. Поэтому угол символизирует здесь всю границу, в общем случае не обязательно квадрата, но некоторый несамоперекающийся замкнутый контур (поверхность), который делит плоскость (пространство) на внутреннюю и внешнюю область. Такого рода образ вполне соответствует идее наложения границ на некоторый первоначальный фон, что позволяет предположить концепт мероформы.

В то же время в исчислении форм Спенсера-Брауна есть операция конкатенации, расположения друг за другом уже построенных выражений. Она интерпретируется как булево сложение (дизъюнкция в логике). Это момент композиции более интегральных форм из более элементарных, что выражает концепт холоформы.

В целом в исчислении форм, по Спенсеру-Брауну, можно найти моменты и меро-, и холоформы, координируемые совместно в более полном образе формы[10].

Дальнейшее исследование версии исчисления форм у Спенсера-Брауна только ещё более подтверждает такую догадку.

Спенсер-Браун использует две основные аксиомы в своём исчислении форм, которые определяют базовые правила оперирования с «углом»:

Аксиома 1. The law of Calling[11]: два угла, идущие друг за другом, дают один угол.

Аксиома 2. The law of Crossing[12]: угол в угле есть пустота.

Отсюда мы, кстати, видим, что изначально используется ещё один знак – это пустота.

При булевой интерпретации одному углу сопоставляется булева единица 1 («истина» в логике высказываний), а пустоте – булев ноль 0 («ложь» в логике высказываний). Угол в угле интерпретируется как отрицание 1, т.е. как 0. Один угол в этом случае оказывается отрицанием пустоты, т.е. нуля 0, т.е. это 1.

В этом случае мы видим, что угол играет роль операции отрицания того, что стоит под углом. Таким образом, значение угла – это не просто граница, но процесс пересечения границы, т.е. выхода из внутренней отграниченной области во внешнюю.

 

  1. Исчисление форм как полярная логика

 

В одной из работ автора[13] была построена так называемая полярная логика, которая оперирует понятием полярностей – некоторых контрастных элементов булевой алгебры. В этом случае базисными полярностями можно называть множество ненулевых элементов р1,…,рn, которые не пересекаются между собой, т.е. pi*pj = 0[14], если i¹j, и их булева сумма равна 1 – булевой единице. Минимальная булева алгебра с нулём 0 и единицей 1 представляет собою одномерную полярную логику ПЛ1 с одной базисной полярностью 1.

В этом случае на исчисление форм Спенсера-Бауэра можно посмотреть как на простейшую версию одномерной полярной логики ПЛ1, в которой базовая операция угла играет роль взятия следующей полярности.

В общем случае понятие полярности может быть расширено на все элементы полярной логики, и можно ввести операцию N взятия следующей полярности для базисных полярностей по правилу: N(pi) = pi+1, N0 = p1, Npn = 0. В этом случае возникнет циклическая группа Cn с главной групповой операцией N.

При такой трактовке исчисление форм Спенсера-Брауна могло бы быть обобщено на n-мерную полярную логику ПЛn, для чего нужно будет обобщить лишь вторую аксиому:

Аксиома 2(n). The law of (n+1)-Crossing: взятие (n+1) углов, вложенных друг в друга, даёт пустоту.

В то же время полярная логика позволяет оперировать понятиями полярностей – контрастных определённостей — и строить своего рода полярные портреты разного рода определённостей. Именно этим занималась немецкая классическая диалектика в лице Фихте, Шеллинга и Гегеля как наиболее выдающихся своих представителей. Диалектическая логика в этой школе может быть представлена как двумерная полярная логика ПЛ2, в которой фигурируют две базисные полярности р1 («тезис») и р2(«антитезис»), объединяемые в булев максимум («синтез») 1 = р1 + р2. Особенность немецкой диалектики состоит лишь в том, что здесь используется многоуровневаядвумерная полярная логика, когда «синтез» предыдущего уровня представляется как «тезис» вышележащего уровня.

Следует также заметить, что каждая базисная полярность в многомерной полярной логике получается как результат ограничения булева максимума 1. Что же касается композиции базисных полярностей, то здесь мы видим как момент холоформы в лице собирания более интегральной полярности из более элементарных, так и момент мероформы – как результата ограничения относительно булева максимума 1.

В целом расширение исчисления форм до n-мерной полярной логики ПЛn ставит задачупостроения полярных портретов различных форм, в которых органично взаимодействуют меро- и холоформа[15]. Момент холоформы выражает аспект композиции более интегральных полярностей из более элементарных, в то время как аспект мероформы выражает данную полярность как некоторый вид ограничения относительно максимальной полярности 1.

Теперь соединим идею структурного представления формы и полярной трактовки исчисления форм. В итоге возникает методология построения полярных портретов абстрактных структур, когда те или иные чистые структуры (формы) должны будут представляться в качестве композиционных полярностей относительно некоторых базисных структур. На множестве базисных структур должна быть воспроизведена многомерная полярная логика, в качестве булевой единицы (максимальной полярности) которой выступит некоторая суперструктура – полярная сумма всех базисных структур[16].

Так можно было бы в более расширенном и свободном стиле понимать современные задачи исчисления форм.

 

  1. К исчислению субъектных форм

 

Ещё один важный аспект исчисления форм связан с задачами на собственные формы, которые, как уже отмечалось, связывались основоположниками этого направления с идеями некоторой первичной субъектной среды и действующими в ней операторами.

Такого рода поворот в исчислении форм выражает идею определённой специфики рассматриваемых абстрактных структур. А именно, в качестве чистых структур должны рассматриваться субъектные структуры, т.е. разного рода конструктивные средства выражения феномена субъектности и его активности.

С нашей точки зрения, такую субъектную линию в исчислении форм удобно было бы связать с развиваемой автором моделью субъектных онтологий – такого представления структуры бытия, в которой рядоположенно друг с другом находятся регионы внешнего и внутреннего мира[17]. Подобные модели близки к конструкциям рефлексивных онтологий В.А.Лефевра, который в своём раннем творчестве использовал математику так называемых рефлексивных полиномов[18].

Язык рефлексивных полиномов – это также своеобразный вариант исчисления рефлексивных форм, который можно активно использовать и развивать в построении субъектной линии исчисления форм.

В общем случае здесь можно было бы отталкиваться от следующей общей схемы.

Типичная и наиболее дифференцированная структура субъектной онтологии U представляет собою булеву структуру на множестве регионов – частей U. Здесь можно выделить регион внешнего мира Еx, общий регион внутреннего мира In, в составе которого могли бы выделяться регионы более частных внутренних миров Ink.

На регионах определим операции булева сложения +, умножения *, выделим U как булеву единицу и 0 (нулевой регион) как булев ноль. Регионы внешнего и внутреннего мира считаются не пересекающимися. В регионе внешнего мира Еx могут находиться тела (телесные регионы) Тk, в том числе тела для некоторых внутренних миров Ink. Единство тела Тk и внутреннего мира Ink образует живое существо (субъекта) Sk.

Определим далее на регионах субъектной онтологии ряд операторов. В первую очередь это операторы рефлексии и эмпатии.

Пусть даны субъектные онтологии U и U*. Пусть в онтологии U* есть некоторый внутренний мир Ink. В этом случае определим в качестве Ink-рефлексии онтологии U отображение из U в Ink, которое сохраняет булеву структуру U, т.е. является булевым изоморфизмом. Символически такой оператор может быть выражен в виде правого умножения вида Uink = Ink, где фактор ink выступает в качестве параметра оператора рефлексии. Такого рода запись соответствует операции рефлексии в логике рефлексивных полиномов Лефевра – домножение справа на имеющийся полином означало там взятие структуры этого полинома с точки зрения соответствующего субъекта[19].

Требование булевого изоморфизма также можно выразить операцией домножения справа. Если, например, U = Х+У – структура онтологии U представляет собой булеву сумму регионов Х и У, то Uink = (X+Y)ink = Xink + Yink = Ink – структура региона Ink также получается как булева сумма соответствующих регионов Xink и Yink.

Определим далее оператор эмпатии.

Опять-таки, пусть даны онтологии U и U*, и в онтологии U* дан регион внутреннего мира Ink. В этом случае оператор эмпатии в регион Ink (Ink-эмпатии) определим как отображение из Ink в онтологию U, структура которой булево изоморфна структуре региона Ink. Более точно, если регион Ink имеет систему своих под-регионов х, и каждый такой подрегион может быть представлен в виде х = Хink, то в составе U региону х будет соответствовать регион Х, т.е. здесь происходит как бы снятие детерминанта ink с объекта Хink.

Мы видим, что операторы рефлексии и эмпатии являются частными случаями булевых изоморфизмов на регионах субъектных онтологий. В общем случае мы можем предполагать более общее семейство таких взаимно-однозначных отображений, которые сохраняют булеву структуру регионов субъектных онтологий. Я буду называть ихрефлексивно-булевыми изоморфизмами. Например, кроме операторов рефлексии и эмпатии, могут быть определены булевы изоморфизмы на субъектных онтологиях в целом и т.д.

Используя рефлексивно-булевы изоморфизмы (РБ-изоморфизмы) на субъектных онтологиях, мы могли бы ввести идею рефлексивно-булевых инвариант (РБ-инвариант) субъектных онтологий – по той же методике, которая практикуется в случае векторно-тензорных инвариант в математике.

А именно, если даны регионы R и R* субъектных онтологий U и U* соотв., и между ними определён рефлексивно-булев изоморфизм Т, т.е. R* = Т(R), то подрегион Х из R и подрегион Х* из R* можно считать представлениями в R и R* соотв. одного (рефлексивно-булева) инварианта Х^ е.т.е. Х* = Т(Х). В этом случае возможна запись Х = X^х и Х* = X^х*, где х и х* — факторы определения регионов Х и Х* соотв. относительно инварианта Х^[20].

Регионы R и R* играют роль своего рода систем отсчёта, инварианты Х^ — роль, аналогичную векторам (тензорам), а представления Х и Х* — роль своего рода покоординатных представлений векторов (тензоров) в соответствующих системах отсчёта.

Точно так же, как на векторах можно определить инвариантные операции, которые будут изоморфно транслироваться в соответствующие операции на координатных представлениях векторов в каждой системе отсчёта; точно также можно было бы определить инвариантные операции на рефлексивно-булевых инвариантах Х^.

Например, если f – некоторая двуместная булева операция на регионах субъектной онтологии, то двуместная операция f^ на инвариантах Х^ и Y^ могла бы быть определена по следующему правилу: f^(X^,Y^) есть такой рефлексивно-булев инвариант Z^, что в каждом регионе R субъектной онтологии U, где определены представления X^х и У^у,  представление Z^z есть f(X^x,Y^y) – результат действия операции f на представления X^x и Y^y в онтологии U.

Рефлексивно-булевы инварианты Х^ играют центральную роль в структурах субъектных онтологий, поскольку они выражают разные виды реальности в этих онтологиях. Реально то, что представляет собой инварианты разного рода трансформаций на онтологиях. Такова общая идея, которая может быть распространена как на реальность структур внешнего и внутреннего мира в отдельности («внешняя и внутренняя реальность»), так и на реальность интегральных образований внешне-внутреннего мира («внешне-внутренняя реальность»).

Например, используя идею РБ-инвариантности, можно определить феномен Я (эго) субъекта. Кауффман приводит в связи с этим известное определение Я, данное фон Фёрстером: «I am the observed link between myself and observing myself» («Я есть наблюдаемая связность между собой и наблюдением себя»).

Чтобы попытаться выразить подобного рода конструкт, положим, что дана некоторая первичная субъектная онтология U, в которой непосредственно выделен регион моего внутреннего мира я[21]. Онтологию U можно разбить в этом случае на регионы я и не-я: U = я + не-я, где + — булево сложение. В этом случае под Я можно понимать РБ-инвариант я^, представлениями которого будут все регионы, РБ-изоморфные я.

Согласие с определением фон Фёрстера можно выразить тем, что простейшее проявление инвариантности я^ выражается в образовании рефлексивного региона я’ = Uin’, где in’ – фактор рефлексии U в я’[22]. Поскольку Uin’ = (я + не-я)in’ = я in’ + не-я in’[23], то в составе я’ есть регион я* = я in’, который представляет собой образ я во внутреннем мире я’. Пусть регион я’ – это подрегион онтологии U’. Положим также, что между онтологиями U и U’ определён РБ-изоморфизм, в рамках которого регионы я и я’ являются образами друг друга. Регионы я, я’ и я*, как следует из построения, являются РБ-изоморфными, т.е. являются представлениями РБ-инварианта я^. Внутренний мир я представляет собою в этом случае более эмпатическое представление инварианта я^ («я сам», myself), а я* – более рефлексивное («наблюдение себя», observing myself). Само же я^ выступает как та «наблюдаемая связность», т.е. РБ-инвариант, которая скрепляет (link) между собой свои эмпатические и рефлексивные представления.

Следует заметить, что булева структура на регионах субъектной онтологии – это одна из математических структур S. В качестве её элементов выступают регионы, на которых заданы булевы операции и отношения. Далее может быть определена более интегральная структура, включающая в себя рефлексивно-булевы инварианты, их представления в регионах, рефлексивно-булевы изоморфизмы и т.д.

Рассматривая подобные структуры в абстрактном смысле, мы получаем вполне субъектные формы, и даже более того, — субъект-объектные формы, поскольку здесь представлены регионы и внутреннего, и внешнего мира.

 

  1. Проективно-модальные формы

 

В ряде работ автора[24] была развита теория проективной модальности, формально-аксиоматическое представление которой составило аксиоматическую систему – так называемую Проективно Модальную Онтологию (ПМО). Средствами этой аксиоматики выражается онтология, предполагающая источники предикации («модусы»), их аспекты-предикации («моды») и ограничивающие условия («модели»), в рамках которых из модусов возникают их моды.

Базовые формулы ПМО имеют следующий вид: У = Х↓С и Х = У↑Е, где выражение Х↓С означает «Х при условии С», т.е. некоторое условное бытие Х (моду модуса Х), которое возникает из Х в ограничивающем условии С. Стрелочка вниз ↓ обозначает двуместный функтор «взятия при ограничивающем условии» (так называемый проектор)[25].

Дуальное выражение У↑Е обозначает «У, взятый при расширяющем условии Е», т.е. здесь представлено обратное движение от моды У к модусу Х. Стрелочка вверх ↑ обозначает дуальный функтор «взятия при расширяющем условии» (так называемыйсюръектор). Расширяющее условие Е (так называемый «модуль») – это параметр, который доопределяет сюръектор до более однозначного одноместного функтора ↑Е, «поднимающего» моду У до модуса Х[26]. В качестве одной из аксиом ПМО утверждается отношение нестрогого порядка ≤ между модой и модусом[27], т.е. мода меньше или равна модуса, что можно выразить следующим образом: Х↓С ≤ Х.

Средствами ПМО можно также показать, что оператор рефлексии Хink представим в видерефлексивного проектора ¯R, где Xink = X¯Rink, в то время как оператор эмпатии, выражающийся в переходе от Хink к Х, может быть представлен в форме соответствующего рефлексивного сюръектора ­R, где Хink­ink = Х. В этом случае алгебра рефлексивных полиномов В.А.Лефевра оказывается частной версией ПМО[28].

 

  1. Теорема равносильности

 

Используя проективно-модальные конструкции, можно доказать замечательную теорему о равносильности задач на инвариантность (симметрию) и на собственное значение.

Как известно, симметрия в современной математике описывается той группой преобразований, которая сохраняет данную симметрию. Группа преобразований F предполагает некоторое множество элементов М и множество отображений f на элементах из М, образующих группу. Это значит, что для каждого отображения f найдётся обратное преобразование f-1 такое, что fof-1 = f-1of = I – тождественное отображение. Кроме того, как обычно, предполагается ассоциативность композиции отображений[29].

Свяжем далее с группой отображений f проективно-модальные конструкции следующим образом. Если f(x) = y, то будем рассматривать х и у как моды некоторого модуса Х, и наоборот: данность х и у в качестве некоторого множества[30] мод Х означает, что найдётся отображение f такое, что f(x) = y.

Если х и у – моды Х, то, следовательно, найдутся модели m, m* и проекторы ↓ и ↓* такие, что х = Х↓m  и  y = X↓*m*. Одновременно это означает, что найдутся модули е, е* и сюръекторы ↑ и ↑* такие, что Х = х↑е = у↑*е*.

В этом случае, если для некоторого отображения f из F и некоторых х и у из М имеем соотношение у = f(x), то можем записать:  Х↓m = f(X↓*m*).

Используя знак композиции о между отображениями, последнее равенство можно переписать в виде: ↓m(X) = f o*m*(X), где ↓m(X) означает то же, что X↓m; а запись f o*m*(X) – то же, что f(X↓*m*).

Поскольку ↑е о↓m(Х) = Х, то, применяя слева к обеим частям равенства оператор ↑е, получим:

  • Х = ↑е о f o*m*(X).

Обозначая функтор ↑е о f o*m* через f*, мы окончательно получим уравнение на собственное значение:

(2)  Х = f*(X).

Таким образом, мы показали, что если есть симметрия в виде группы преобразований F и связанный с нею модус Х, то для Х выполняется уравнение (2) на собственное значение для каждого элемента f из F. Более неформально условие (2) означает, что модус Х является инвариантом всех преобразований f*, в которых отображения f характеризуют некоторый тип симметрии. В лице Х мы получаем объектную характеристику симметрии – не как группы преобразований, но как того объекта (инварианта), который сохраняется этими преобразованиями[31].

С другой стороны, пусть есть некоторая задача на собственное значение f(x) = x. В этом случае, по крайней мере, в рамках х определено обратное отображение f-1(x) = x, и можно ввести группу преобразований из отображений h = f1ооfn, где fi – это либо f, либо f-1, либо I – тождественное отображение. В итоге возникает определённая группа на подобных отображениях, которую можно рассматривать как группу симметрии[32]. Она выражает тот факт, что если х – собственное значение функтора f, то х – собственное значение и любого функтора h.

Таким образом, мы показали, что задачи на симметрию (инвариантность) и собственные значения оказываются равносильными. Это можно сформулировать в виде специальной теоремы.

Теорема равносильности (симметрии и собственноформности). Задача на симметрию может быть переформулирована как задача на собственную форму, и наоборот.

Применяя эту теорему к рефлексивно-булевым инвариантам в субъектных онтологиях, можно утверждать, что все такого рода инварианты одновременно могут быть представлены как решения задач на собственную форму – для этого достаточно определить эти инварианты в качестве модусов, а их представления в регионах субъектной онтологии – в качестве мод. Группа преобразований симметрии будет представлена в этом случае рефлексивно-булевой группой – группой рефлексивно-булевых изоморфизмов между регионами субъектных онтологий[33]. Подобная математическая структура могла бы рассматриваться как своеобразная версиясубъектно-социального протокода – фундаментальной знаковой системы, средствами которой можно выражать базовые конструкции субъектности и социальности.

Так мы в определённой мере решаем задачу, сформулированную фон Фёрстером, — представить виды реальности в субъектной среде в качестве решений задач на собственные значения. Только в нашем случае мы расширяем регионы реальности за границы субъектности (региона внутреннего мира), формулируя общую задачу субъект-объектных (внешне-внутренних) видов реальности в составе интегральной регионалики субъектных онтологий.

В то же время следует отметить, что средства Проективно Модальной Онтологии позволяют сформулировать идею инвариантности, основанную не только на группах изоморфизмов (такую инвариантность можно называть изо-инвариантностью), но на первичной идее модуса и его мод. В этом случае можно предполагать, что Х и Х* являются модами одного модуса в рмках некоторой ПМО е.т.е. найдутся такие сюръекторы ­ и ­* и такие модули е и е*, что имеют смысл выражения Х­е, Х­*е*, и выполнено равенство Х­е = Х­*е*. Такого рода инвариантность можно было бы называтьмодус-инвариантностью. Доказательство приведённой выше Теоремы равносильности предполагает, что для всякой изо-инвариантности может быть построена модус-инвариантность, в то время как обратное может быть не всегда верно. Тем самым принимается, что модус-инвариантность оказывается более общим случаем и более универсальным концептом.

 

  1. Заключение

 

Подводя итог, мы видим проект исчисления форм как

— методологию рациональной философской традиции, оперирующую понятием формы как абстрактной структуры,

— проект построения полярных портретов структур в рамках композиции из более элементарных базисных структур (момент холоформы) и ограничения некоторой суперструктуры (момент мероформы),

— методологию работы с булевыми структурами субъектных онтологий и рефлексивно-булевыми изоморфизмами на регионах этих онтологий, благодаря чему можно ввести представление о реальности как рефлексивно-булевых инвариантах и показать равносильность задач на симметрию и собственноформность.

При такой интерпретации, как нам представляется, проект исчисления форм получает новый импульс к развитию, своего рода «второе дыхание», и может быть истолкован как проект развития своеобразной версии теоретической и даже математической философии.

 

 

[1] Работа выполнена при поддержке РГНФ, проект № 14-03-00825 «Постнеклассическая интегральная философия: образы социального протокода».

[2] G. Spencer-Brown. Laws of Form. George Allen and Unwin Ltd. London (1969).

[3] Термин «субъектный» несёт в данном случае онтологическую нагрузку и означает «относящийся к субъектам, живым существам». В таком смысле его следует отличать от гносеологического термина «субъективный», т.е. случайно истинный или ложный.

[4] См. напр. Heinz von Foerster, Objects: tokens for (eigen-) behaviors, in «Observing Systems,» The Systems Inquiry Series, Intersystems Publications (1981), pp. 274 – 285.

[5] Собственная форма в данном случае — это собственное значение х в уравнении f(x)=x, которое одновременно является формой, т.е. денотатом в исчислении форм.

[6] См. напр. Louis H.Kauffman, Eigenform. Proceedings of the 51st Annual Meeting of the ISSS, Papers: 51st Annual Meeting. [Электронный ресурс] URL:http://journals.isss.org/index.php/proceedings51st/article/view/811. (Дата обращения 4.04.2014).

[7] Автор развивает проект так называемой «философии неовсеединства» — философского замысла продолжения и развития на материале современной культуры идей русской философии всеединства, основанной В.С.Соловьёвым. См. напр. Моисеев В.И. Логика открытого синтеза: в 2-х тт. Т.1. Структура. Природа. Душа. Кн.1-2. – СПб.: ИД «Мiръ», 2010; Моисеев В.И. Человек и общество: образы синтеза. В 2-х тт. – М.: ИД «Навигатор», 2012.

[8] Понимая под формой абстрактную структуру S = <M,F,P>, можно было бы множество М абстрактных элементов интерпретировать как момент материи в форме, как своего рода формальную материю.

[9] См. также Моисеев В.И. Философия науки. Философские проблемы биологии и медицины. – М.: ГЭОТАР-Медиа, 2008. – С.14-22.

[10] Правда, стоит отметить, что в силу представления исчисления форм Спенсера-Брауна в виде минимальной булевой алгебры на 0 и 1, семантически здесь имеется лишь одна ненулевая форма 1, которая сама себе и часть и целое. Но синтаксически, на уровне выражений исчисления форм, можно говорить о различных целых, частях и их отношениях.

[11] Буквально «Закон именования (называния)»: назвать дважды одно и то же – всё-равно, что назвать его один раз.

[12] «Закон пересечения (границы)»: дважды пересечь  границу (туда и обратно) – то же, что вообще её не пересекать.

[13] См. Моисеев В.И. Логика открытого синтеза: в 2-х тт. Т.1. Структура. Природа. Душа. Кн.1. – СПб.: ИД «Мiръ», 2010. – С.644-690.

[14] Символом звёздочки * здесь обозначена операция булева умножения (конъюнкции в логике).

[15] Примеры построения полярных портретов см. напр. Моисеев В.И. Логика открытого синтеза: в 2-х тт. Т.1. Структура. Природа. Душа. Кн.2. – СПб.: ИД «Мiръ», 2010. – С.494-513.

[16] Идея суперструктуры не предполагает, что уже сейчас должна быть сформулирована самая богатая структура, сужением которой можно получить все иные структуры. Достаточно рассматривать идею относительной суперструктуры – наиболее богатой структуры относительно некоторого класса структур. Например, множество вещественных чисел – это суперструктура для всех своих сужений: множества натуральных, целых, рациональных чисел и т.д.

[17] См. Моисеев В.И. Логика открытого синтеза: в 2-х тт. Т.1. Структура. Природа. Душа. Кн.1. – СПб.: ИД «Мiръ», 2010. – С. 432-449.

[18] Лефевр В.А. Конфликтующие структуры. Издание второе, переработанное и дополненное. — М.: Изд-во «Советское радио», 1973.

[19] См. также Моисеев В.И. Человек и общество: образы синтеза. В 2-х тт. Т.2 – М.: ИД «Навигатор», 2012. – С.464-480.

[20] В терминах ПМО (см. ниже) факторы х и х* играют роль ограничивающих условий («моделей»), которые ограничивают инвариант Х^ до своих представлений Х и Х* соотв.

[21] Такого рода предположение означает, что у нас есть первичный опыт Я, который начинается с непосредственного интроспективного переживания собственного внутреннего мира.

[22] Подобно тому как в рефлексивной логике В.А.Лефевра рефлексивное выражение ХУ означает Х с точки зрения У.

[23] Я здесь использую элементы логики рефлексивных полиномов Лефевра, где (Х+У)Z = XZ + YZ.

[24] См. напр. Моисеев В.И. Логика открытого синтеза: в 2-х тт. Т.1. Структура. Природа. Душа. Кн.1. – СПб.: ИД «Мiръ», 2010. – С.221-309.

[25] Логика проекторов в особенной степени выражает момент мероформы как результата наложения границ на некоторое первоначальное единое. Для формулы У = Х↓С модус Х выступает в качестве единого, а оператор ↓С – в качестве границы, наложением которой на Х получается условное бытие У.

[26] Сюръекторная часть ПМО, наоборот, в большей мере выражает аспект холоформы, получаемой восхождением от части У к целому Х, где Х = У↑Е.

[27] Здесь символом «≤» обозначается не обязательно числовое отношение нестрогого порядка, но любое отношение подобного вида.

[28] Подробнее см. Моисеев В.И. Человек и общество: образы синтеза. В 2-х тт. Т.2 – М.: ИД «Навигатор», 2012. – С.466-473.

[29] Свойство ассоциативности более строго может быть записано так. Пусть f, g, h – любые отображения, для которых возможна композиция fo(goh). Тогда ассоциативность означает выполнение условия fo(goh) = (fog)oh, т.е. результат композиции не зависит от расстановки скобок.

[30] Тем самым предполагается, что отображения f определены не для всех мод модуса Х, а для некоторого их подмножества.

[31] Одновременно Х можно представить как самостоятельную структуру – локальную Проективно Модальную Онтологию, в которой будут рассматриваться только моды, модели и модули модуса Х. Проекторы и сюръекторы также будут даны только те, которые связаны с модусом Х и его модами. В этом случае уравнение (2) можно одновременно понимать в смысле уравнения на Х как собственную форму, понимая под Х описанную абстрактную структуру.

[32] Это будет частный случай симметрии, при которой модус-инвариант Х совпадёт со своими модами х и у, где h(x) = y.

[33] По-видимому, в этом случае можно говорить и об определении специальной категории (в смысле математической теории категорий), которую можно было бы называть категорией субъектных онтологий.



Другие статьи автора: Моисеев Вячеслав

Архив журнала
к№3, 2019№2, 2019№1. 2019№4, 2018№3, 2018№2, 2018№1, 2018№4, 2017№2, 2017№3, 2017№1, 2017№4, 2016№3, 2016№2, 2016№1, 2016№4, 2015№2, 2015№3, 2015№4, 2014№1, 2015№2, 2014№3, 2014№1, 2014№4, 2013№3, 2013№2, 2013№1, 2013№4, 2012№3, 2012№2, 2012№1, 2012№4, 2011№3, 2011№2, 2011№1, 2011№4, 2010№3, 2010№2, 2010№1, 2010№4, 2009№3, 2009№2, 2009№1, 2009№4, 2008№3, 2008№2, 2008№1, 2008№4, 2007№3, 2007№2, 2007№1, 2007
Поддержите нас
Журналы клуба