Журнальный клуб Интелрос » Credo New » №4, 2014
Моисеев Вячеслав Иванович
Московский государственный медико-стоматологический университет им. А.И.Евдокимова
доктор философских наук, профессор кафедры философии, биомедицинской этики и гуманитарных наук
Moiseev Viacheslav Ivanovich
Moscow State Dental University
PhD, professor of the Chair of Philosophy, Biomedical Ethics and Human Sciences
E-Mail: vimo@list.ru
Шашков Игорь Иванович
кандидат технических наук
Shashkov Igor Ivanovich
PhD
E-Mail: shashkovi0@gmail.com
УДК – 160.1
Концепт полноты: от математики к философии
Аннотация: В статье делается попытка ввести концепт «полноты» в философию как аналог бесконечности в математике. Предлагается процедура введения такого концепта, исследуются его виды и определения. Вводится представление о логическом пространстве и его предельном варианте как выражающем концепт полноты. В качестве одной из фундаментальных характеристик полноты предлагается рассматривать циклический параметр завершённости и законченности («угол бытия»).
Ключевые слова: полнота, математическая бесконечность, философская бесконечность, угол бытия.
CONCEPT OF COMPLETENESS: FROM MATHEMATICS TO PHILOSOPHY
Summary: This article is an attempt to introduce the concept of «completeness» in philosophy as an analogue of infinity in mathematics. A procedure for the introduction of such a concept is offered, its types and definitions are investigated. A notion of logical space and one its limiting example, as expressing the concept of completeness, is introduced. As one of the fundamental characteristics of completeness, a cyclic parameter of ripeness and finality («angle of being») is proposed.
Keywords: completeness, mathematical infinity, philosophical infinity, angle of being.
Концепт полноты: от математики к философии[1]
В истории мировой метафизики всегда присутствует более или менее выраженное стремление оперировать с некоторой «философской бесконечностью». В математике введение понятия бесконечности позволило решить многие вопросы, создать новые направления. Например, благодаря идее бесконечности, можно построить законченную теорию натуральных чисел, теорию пределов в математическом анализе, теорию множеств в основаниях математики и т.д. Представляется, что бесконечность как некоторая абстрактная идеализация в то же время оказывается крайне плодотворной и выводит развитие математики на новый уровень.
В философии также всегда существовало и продолжает сохраняться постоянное стремление выразить некоторую философскую бесконечность и решить с её помощью ряд фундаментальных метафизических проблем. Такого рода концепт получал в истории философии множество различных названий – Абсолют, Бог, Единое, Абсолютный Максимум, Брахман, Дао, Всеединство и т.д. – но всегда играл примерно одну и ту же роль, сродни роли бесконечности в математике. Можно спорить, существует ли такого рода образование на самом деле[2], но по крайней мере к этой конструкции можно было бы отнестить как к некоторой предельной идеализации, которая позволяет сделать в философии примерно то же, что концепт бесконечности в математике, — достичь определённой законченности и полноты ряда структур.
Например, введение аппарата пределов позволяет завершить теорию вещественного числа, пополнив рациональные числа иррациональными. С этой точки зрения подобный концепт можно было бы называть в более операциональном смысле термином «полнота»[3], понимая под ним средство придания полноты и законченности некоторым первоначально незавершённым структурам.
В простейшем виде концепт полноты реализует себя в завершении множества натуральных чисел 1, 2, 3, … В самом деле, каким образом происходит завершение и достигается полнота всего множества чисел?
В порождении всё новых чисел фундаментальной является операция образования следующего числа n+1 на основе предыдущего числа n. Поскольку для любого натурального числа элемент n+1 не равен n, то на основе такой операции невозможно остановиться ни на одном конечном числе. И только переход к бесконечности ∞ впервые позволяет достичь остановки, поскольку ∞+1 = ∞. Так получается завершение множества натуральных чисел, достигается его полнота и законченность. В этом случае особенно ярко видно, что бесконечность ∞ играет здесь роль фактора полноты.
Нельзя ли и в философии ввести некоторый элемент («полноту»), который бы играл подобную же роль восполнения и завершения разного рода философских концептов?
По крайней мере, пока можно рассматривать возможную гипотезу о существовании некоторой «философской бесконечности» или «полноты», которая могла бы играть подобную роль.
Предполагая, что такой концепт полноты П как бы есть (подобно идеализирующему бытию математической бесконечности), давайте попытаемся исследовать, каковы могли бы быть свойства П.
Начать можно с некоторого аналога философского натурального ряда. Но есть ли нечто подобное в философском знании? Что здесь могло бы выступить в качестве аналога математического натурального ряда 1, 2, 3, …?
Оказывается, найти такой пример не столь уж сложно. Аналогию со структурой натурального ряда в философии проявляет ряд синтезов всё более высоких порядков в версии, например, гегелевской диалектики. Пусть Т1 – первый тезис, А1 – его антитезис (первый антитезис), С1 – первый синтез, что можно условно выразить соотношением С1 = Т1+А1, понимая под +, например, булево сложение. Далее имеем: С1 = Т2 — синтез первого уровня оказывается тезисом более высокого уровня Т2 (вторым тезисом), для которого возникает второй антитезис А2 и второй синтез С2 = Т2 + А2, и так далее.
В итоге строится ряд тезисов всё более высокого порядка Т1, Т2, Т3, … Как и в случае с натуральным рядом, каждый следующий тезис отличен от предыдущего, и это верно для любого конечного элемента. Следовательно, как и в арифметике, ряд тезисов может быть завершён только в бесконечности. Это значит, что подобно введению идеального конструкта бесконечности ∞ в математике, мы можем в философии для ряда тезисов ввести некоторый аналогичный концепт, обозначив его, например, как Т∞ — тезис бесконечного порядка[4]. Как для бесконечности выполняется замыкающее соотношение ∞+1 = ∞, так и для Т∞ должно выполняться нечто подобное: Т∞+1 = Т∞ — следующий за Т∞тезис совпадает с Т∞. Это означает, что уже невозможно образовать ненулевой антитезис А∞, который бы восполнял Т∞ до чего-то иного. Следовательно, А∞ = 0 – бесконечный антитезис равен нулю. Таково первое более операциональное определение полноты П как «философской бесконечности».
В то же время в приведённом примере бесконечного ряда тезисов есть и свой момент отличия от натурального ряда. В натуральном ряду образование следующего элемента n+1 всегда достигается прибавлением единицы, т.е. неизменным приращением. Что же касается бесконечного ряда тезисов, то здесь достижение завершения и полноты достигается обнулением антитезиса, когда А∞ = 0.
В этом случае можно предполагать, что такого рода обнуление могло бы достигаться и ранее бесконечности, на некотором конечном шаге. В этом случае получился бы конечный ряд тезисов Т1,Т2,…,Тn, так что антитезисы Аk постоянно бы уменьшались, и уже для тезиса n-го порядка мог бы получиться ноль, т.е. Аn = 0.
Таким образом, в отличие от натурального ряда чисел, для «философского ряда» тезисов мы могли бы получить два вида полноты – инфинитную полноту ПИ, которая представляет собой тезис бесконечного порядка Т∞, где впервые достигается обнуление антитезиса; и финитную полноту ПФ, когда антитезис обнуляется уже для некоторого конечного числа n, т.е. Аn = 0. При этом, принципиально отличаясь способом своего достижения, ПФ и ПИ по своей функции (обнуление антитезиса) между собой не различаются; можно сказать, что это одна и та же полнота П в своих разных аспектах.
Заметим также, что антитезисы выражают собою некоторый линейный момент изменения, когда последующий тезис отличается от предыдущего. В этом случае исчерпание «энергии антитезисов» будет означать иссякание начала отличности последующего от предыдущего. В итоге полнота окажется выраженной уравнением С(Т) = Т, где С(Т) = Т+А – синтез тезиса и антитезиса как действие оператора синтеза на тезис. Уравнение С(Т) = Т оказывается уравнением на собственное значение оператора С, так что концепт полноты П будет одновременно решением подобного уравнения.
Простейшим вариантом полноты окажется случай финитной полноты для n=2. Кратко её можно называть 2-полнотой. В этом случае энергия антитезиса иссякнет уже на втором антитезисе, т.е. А2 = 0, и Т2+А2 = Т2. Структура 2-полноты Т2 будет состоять из тезиса первого порядка Т1 и его антитезиса А1, т.е. Т2 = Т1 + А1.
Можно также предполагать, что завершённость 2-полноты уже на 2-м тезисе Т2выражается в том, что в некотором смысле антитезис полностью замкнёт собою тезис, т.е. как бы скомпенсирует все его неравновесия, подобно тому как вторая половина круга завершает его первую половину до полного и законченного в себе целого круга. Тезис и антитезис окажутся в отношении «ключ к замку» и «защёлкнутся» в целостную законченную структуру.
Такую круговую структуру можно понимать как кольцо коммуникативного резонанса(КР), репрезентирующее внутреннюю структуру полных сущностей, а также их единение в замкнутой причинно-следственной цепочке[5].
Образ круга возникает здесь не случайно, поскольку именно круг представляет геометрический образ закончености и завершённости, когда конец совпадает с началом, набирая полный цикл.
Такой круг возможен, однако, не только для простейшего случая финитной полноты при n = 2, но и для n > 2, если при этом так же набирается полный цикл.
Концепт полноты несёт в себе также момент противоречивости в лице восполнения тезиса антитезисом. Однако это не обычная формально-логическая противоречивость, но скорее некоторая «краевая парадоксальность» — тот аспект парадоксальности синтеза, который воспринимается таковым с позиции дихотомии на тезис и антитезис и представляет собой некоторый «край», «горизонт» для дихотомического бытия.
Тема краевой парадоксальности вызвана в том числе развитием неклассической науки в лице квантовой физики, теории относительности и т.д. Здесь мы находим множество примеров, когда выход на край той или иной структуры сопровождается возникновением соответствующей парадоксальности.
Ограниченная легитимность формально-логической противоречивости является следствием того, что до ХХ века исследователи в своих построениях шли, главным образом, от видимого, представимого. То, что очевидно (оче-видно, видимо), то и верно, то и следует закладывать в основания.
Видимым же для человека был макроскопический предметный мир, для адекватного описания которого достаточно обычной непротиворечивой логики. Нет логических противоречий – хорошо; есть – надо искать ошибку.
Однако в ХХ веке ситуация изменилась. С развитием науки и техники физики продвинулись в области «невидимого»; в частности, стали возможными исследования в микромире (атомная физика, физика элементарных частиц и т.д.), приведшие в итоге к торжеству квантовой механики. Был достигнут, так сказать, минимум, «край» – например, деление элементарных частиц не приводило к их бесконечному размельчению, а давало частицы того же порядка малости (а иногда даже и с большей массой).
«Край» был достигнут и в теории относительности (максимальность скорости света), а также в космологии (теория замкнутой вселенной Фридмана).
Во всех краевых ситуациях можно предполагать возникновение того или иного образа полноты и завершённости, сопровождающихся своим видом краевой парадоксальности. В некоторой мере эта тема получила своё более формальное выражение в работах одного из авторов, в идее так называемых L-противоречий[6] – предельных последовательностей истинных суждений, которые в пределе дают противоречие. Возможно построение специальной техники работы с такого рода объектами.
В общем случае концепт полноты требует переосмысления идеи (не)противоречивости. То, что в неполном мире противоречиво, могло бы выступить как непротиворечивое состояние в сфере полноты – примерно такова могла бы быть формула, связывающая идеи полноты и (не)противоречивости. Это, в свою очередь, ставит перед нами проблему относительности (не)противоречивости – то, что в одном возможном мире противоречиво (несовместимо), в другом возможном мире могло бы совмещаться. Например, в нашей реальности физическое тело не может быть одновременно зелёным и красным, но может совмещать разные формы и цвета. Но, возможно, полнота такова, что одна одновременно и зелёная, и красная, и вообще совмещает в себе то, что у нас несовместимо. Вспомним идею coincidentia oppositorum (совпадения противоположностей) Николая Кузанского.
Пытаясь осмыслить такого рода возможность, можно было бы исходить из следующих соображений. Представим себе возможный мир разного рода свойств (качеств), которые делятся на группы. Свойства одной группы несовместимы между собой, и из всей группы для данного носителя свойств может реализоваться только одно качество, в то время как качества из разных наборов оказываются совместимыми для того или иного сущего (носителя свойств). Например, в нашем мире, как мы знаем, разные цвета принадлежат одной группе свойств, разные формы – другой группе. Каждый физический объект может быть какой-то формы и какого-то цвета, но из всех возможных форм он всегда будет обладать только одной, как и из всех цветов будет окрашен в какой-то один.
При такой модели возникает своеобразное логическое пространство, в котором свойства одной группы формируют как бы некоторое логическое измерение данного пространства, и сколько групп – столько в пространстве измерений. В связи с этим группу несовместимых между собою свойств можно называть гомомерной группой – относящейся к одному измерению. Соответственно, свойства разных групп можно было бы называть гетеромерными. Точка логического пространства выражает носителя свойств, который обладает по одному гомомерному свойству из каждой группы. Гомомерные свойства несовместимы для одного носителя свойств (сущего), а гетеромерные свойства совместимы. Та или иная конкретная онтология одновременно предполагает структуру своего логического пространства с группами гомомерных свойств.
В общем случае можно предполагать, что одно и то же многообразие свойств могло бы по-разному распределяться по измерениям тех или иных логических пространств. Например, можно было бы предполагать онтологию, в которой разные цвета могли бы стать гетеромерными свойствами, так что одно сущее могло бы одновременно быть красным и зелёным. В связи с этим возникает своеобразный взгляд на логику.
Логика своими законами задаёт то или иное логическое пространство, и в структуре последнего есть более и менее универсальные определения. Например, согласно законам логики, должен быть очерчен некоторый универсум свойств (качеств), выделены сущие – как возможные носители этих свойств, и дано определённое разбиение всех свойств на группы гомомерных свойств. В итоге будут возникать разные логические пространства, которые на одном универсуме свойств могли бы отличаться формами разбиений по гомомерным свойствам. Здесь можно помыслить два предела:
Между ЛП1 и ЛПmax лежат разного рода промежуточные пространства, похожие на известную нам реальность, где есть и совместимые, и несовместимые для данного сущего свойства.
При подобном подходе феномен (не)совместимости оказывается более относительным, связанным с тем или иным типом логического пространства. Как нам представляется, именно в этом духе следовало бы понимать идеи «воображаемой логики» Н.А.Васильева[7]. Логику ЛПmax он называл «монологикой», логикой чистого утверждения, где нет несовместимости и отрицания. Именно средствами этой логики, по-видимому, в наибольшей мере выражается природа полноты П.
В то же время здесь возникает проблема – возможно ли чисто формально предполагать существование ЛПmax? Не возникнет ли здесь некоторых ограничений? Понимая, что это глубокая и интересная проблема для дальнейшего исследования, отметим здесь лишь один важный аспект.
Можно было бы говорить о двух видах несовместимости: 1) несовместимости-уничтожении, когда антитезис просто уничтожает тезис, предполагая в своём определении его существенное разрушение; 2) несовместимости-дополнении, при котором антитезис несёт нечто дополняющее и обогащающее тезис, но, по тем или иным причинам, оказывается несовместимым с тезисом в данной онтологии. В этом случае возможность отнесения свойств к гетеромерным можно было бы ограничить лишь теми, которые в данной онтологии проявляют несовместимость-дополнение. В частности, проецируя подобную логику на идеи добра и зла, можно было бы выразить добро как принцип роста субъектного многоединства, в то время как зло могло бы приобрести здесь два своих оттенка. Во-первых, под злом-2 можно было бы иметь в виду такой принцип, который несовместим с некоторым условным образом добра в данной онтологии, но несёт в себе свой потенциал многоединого роста. Например, боль, наносимая пациенту при лечении, но в конечном итоге оправданная его итоговым выздоровлением, могла бы относиться к такому роду условного зла. Во-вторых, может существовать и зло-1 – такой вид зла, который сознательно ставит себе задачу уничтожения позитивного бытия в любых онтологиях. Такой вид зла окажется несовместимым с растущим многоединством в составе любой онтологии.
В связи с отмеченным уточнением о видах несовместимости, можно предполагать, что реальная полнота ограничена ресурсами только такого логического пространства, которое может сделать совместимыми все свойства, ранее выступающие как несовместимости-дополнения – не более того.
В то же время реальность несовместимости-уничтожения ставит вопрос и о некоторой всеобщей основе для любых несовместимостей.
Из данного парадокса можно было бы выйти введением двух видов полноты: 1) фон-полноты – вида полноты, которая, подобно всеобщему фону, всему даёт основание, но только как лишь некоторый фон реального бытия, 2) на-фоне-полноты – такой разновидности полноты, которая не способна вместить в себя несовместимости-уничтожения, но зато даёт основания реальным синтезам.
В свою очередь, эти два вида полноты оказываются двумя сторонами некоторой 3)транс-полноты, обнимающей в своих определениях фоновые и на-фоне-данные определения бытия.
В общем случае меру законченности в концепте полноты более строго можно выразить идеей геометрического угла – как циклической меры полноты и завершённости.
В связи с этим можно было бы ввести новую категорию угол бытия, предполагая, что каждый тезис Tm в последовательности тезисов Т1, Т2,…, Тn обладает своим угловым параметром в полном цикле, завершающемся на последнем тезисе Tn. Например, если предполагать, что каждому тезису Tm соответствует свой угол jm = j(Тm), то последний тезис Tn будет набирать полный угол бытия j(Тn) = 2π, а все остальные тезисы могли бы обладать некоторыми промежуточными угловыми значениями между 0 и 2π.
В этом случае ряд тезисов Тm приобретает в лице угла бытия jm некоторый циклический параметр, который постепенно набирается в ряду тезисов и достигает полной завершённости на последнем тезисе.
Предположив, что угол бытия набирается тезисами равномерно, можно было бы в идеальном случае положить, что jm = 2πm/n. Тогда для бесконечного ряда тезисов, где n=∞, получим jm = 2πm/∞ = 0, т.е. любой конечный тезис имеет нулевой угол бытия, и вся последовательность тезисов в этом случае не будет обладать цикличностью, но окажется некоторой чисто линейной структурой. В то же время, предполагая, что полнота и для бесконечного ряда тезисов достигается на бесконечности, можно допустить, что в случае бесконечного ряда тезисов мы имеем дело с дугой окружности бесконечно большого радиуса.
Таким образом, отталкиваясь от структуры 2-полноты, мы предполагаем фундаментальный циклический параметр (угол бытия), который может быть распространён на организацию любой полноты – как финитной, так и инфинитной.
Для конечного ряда тезисов Т1,Т2,…,Тn мы можем выделить внутреннюю структуру приращений следующего вида: Тn = T1+A1+A2+…+An-1. Это значит, что итоговый тезис Тnразлагается в сумму первого тезиса Т1 и (n-1) антитезисов Аk. Все вместе эти элементы образуют своего рода базисные полярности, суммой которых образуются производные полярности – тезисы разных уровней.
В немецкой классической философии, особенно в лице философии Гегеля, подобного рода полярные структуры играли фундаментальную роль, поскольку предполагалось, что в конечном итоге любая определённость – вещь, мысль, общество, история и т.д. – имеют свои представления в более или менее сложных полярных структурах, обладают как бы своими полярными портретами. Немецкие диалектики поставили перед собою грандиозную задачу вскрыть своего рода онтологический код – фундаментальную систему кодирования любого вида бытия. В качестве такого кода для них выступилполярный код, когда предполагалось выделение базисных полярностей в рамках тех или иных рядов тезисов и представление любых определённостей как композиций базисных полярностей – полярных портретов. С тех пор эта линия исследования стала неотъемлемой составляющей философской классики.
Таким образом, мы видим, что подобно введению концепта бесконечности в математику, в область философского исследования может быть введена аналогичная конструкция полноты П как своего рода «философская бесконечность». Как и бесконечность математическая, полнота нужна в первую очередь для придания завершённости и законченности разного рода философским структурам. В качестве одной из фундаментальных структур в составе философского знания был рассмотрен ряд тезисов всё более высокого порядка – своеобразный философский аналог натурального ряда чисел в математике. Восполняя такой ряд по аналогии с натуральным рядом, мы ввели концепт полноты как последнего тезиса ряда, для которого обнуляется его антитезис.
Однако вскоре вскрылся и ряд особенностей концепта полноты сравнительно с математической бесконечностью. В частности, в отличие от натурального ряда, была предположена возможность не только бесконечных, но и конечных рядов тезисов, в связи с чем концепт полноты разделился на инфинитную и финитную свои разновидности.
Исследование феномена полноты было также рассмотрено как выражение максимальной совместимости свойств и качеств. Было введено представление о логическом пространстве и его максимальном варианте, совмещающем наибольшее число несовместимого. Полнота может быть рассмотрена как элемент такого пространства. В то же время была отмечена проблема возможности совмещения не всех свойств, в связи с выделением разных видов несовместимости, на основе чего понятие полноты разделилось на более формальный («фон-полнота») и содержательный («на-фоне-полнота») варианты, интегрируемые в некоей «транс-полноте».
Наконец, исследование финитной полноты на примере простейшего варианта 2-полноты позволило связать с финитной полнотой не только линейный, но и циклический параметр (угол бытия), который постепенно набирается тезисами и достигает своего завершения в лице полного угла окружности на последнем тезисе.
На этой основе возникает своеобразный вариант философского исчисления, который можно было бы называть исчислением полярных форм. В этом случае полнота представляет собой законченную форму (с полным углом бытия), для которой выполняется уравнение на собственное значение С(Т) = Т. Также среди всех полярных форм (полярностей) могут быть выделены базисные формы, композицией которых можно представлять самые разные определённости, выстраивая как бы полярные портреты определённостей и тем самым кодируя их в полярном коде.
[1] Работа выполнена при поддержке РГНФ, проект № 14-03-00825 «Постнеклассическая интегральная философия: образы социального протокода».
[2] Определённая попытка интегрального доказательства существования такого концепта приводится в статье Т.В.Тарасюк, И.И.Шашкова «Интегральное доказательство бытия Бога» (журнал «Интегральная философия», №3, 2013, С.73-89. [Электронный ресурс] URL: http://integral-community.ru/magazine (Дата обращения 4.04.2014). В этой статье показывается, что легитимация краевой логической противоречивости, осуществляемая при полноте интегрального подхода, позволяет сформулировать интегральное доказательство бытия Бога (ИДББ) и его предпосылки.
[3] О концепте полноты, включающей в себя не только все какие-либо материальные и идеальные сущности, но и пространство-время этих сущностей, и всевозможные представления и мысли об этих сущностях, и даже их отрицание, в том числе и отрицание самой полноты, в более авторской версии впервые было заявлено в статье И.И. Шашкова «Полнота метафизики» // Размышления о… Метафизика как она есть. — М.: МАКС Пресс, 2006. Однако в этой статье, как и в ряде других работ автора, концепт полноты как версия «философской бесконечности» практически не рассматривался. Что касается возможности работать с полнотой операционально, то качественно эта тема рассмотрена в статье Т.В.Тарасюк и И.И.Шашкова «Полнота как образ и структурный элемент многоединства» (журнал «Интегральная философия», №2, 2012, С.54-64. [Электронный ресурс] URL: http://integral-community.ru/magazine (Дата обращения 4.04.2014), а более операциональное представление впервые осуществляется В.И.Моисеевым в настоящей работе.
[4] Конечно, может возникнуть вопрос о существовании такого предельного тезиса Т∞, Напомним, однако, что здесь, как и выше (см. о существовании концепта Абсолюта, Бога, Единого и т. д.), предполагается существование Т∞, по крайней мере, как некоторой идеализации, позволяющей, в конечном счете, установить основные свойства Т∞.
[5] О коммуникативном резонансе см., в частности, в в книге: Т.В.Тарасюк, И.И.Шашков. Всё из ничего. Основы интегрального выведения мира. — Киев: Изд-во Лаборатории Интегралики, 2010, С.85-88. [Электронный ресурс] URL: http://integral-community.ru/integralika (Дата обращения 4.04.2014).
[6] См. Моисеев В.И. Логика открытого синтеза: в 2-х тт. Т.1. Структура. Природа. Душа. Кн.1. – СПб.: ИД «Мiръ», 2010. – С.588-630.
[7] См.: Н.А. Васильев Воображаемая логика. Избранные труды. — М.: Наука. 1989.
