Другие журналы на сайте ИНТЕЛРОС

Журнальный клуб Интелрос » Credo New » №1, 2021

Виктор Троицкий
МЕСТОРОЖДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОСТИ (комментарий историка философии к одной математической нотации)

Троицкий Виктор Петрович

Библиотека-музей «Дом А.Ф. Лосева» (Москва)

Старший научный сотрудник

Troitsky Victor Petrovich

Library-Museum “House of A.F. Losev” (Moscow)

Senior Researcher

e-mail: vicpetro10.11@mail.ru

УДК: 125.

МЕСТОРОЖДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОСТИ (комментарий историка философии к одной математической нотации)

 

Аннотация:  В историко-философском и общекультурном контексте рассматривается история появления, эволюции и бытования основных визуальных (условно-графических) символов бесконечности. Рассмотрено несколько значимых пунктов, или культурных хронотопов этой истории, начиная от математиков Нового времени (Дж. Уоллис, Л. Эйлер) и Новейшего времени (Г. Кантор, представители «Лузитании») с последующим сопоставлением этих концептов с данными античной «пре-истории»: надписью «Е» на храме в Дельфах и графикой крито-микенских гемм. Показано латентное присутствие представления об Абсолюте в «условной» по внешности нотации. Приведен оригинальный иллюстративный материал.

Ключевые слова: символы бесконечности, хронотоп, математическая нотация, Абсолют, надпись в Дельфах, крито-микенские геммы, Д. Уоллис, Л. Эйлер, Г. Кантор, «Лузитания».

 

 

 

Infinity Field

(a commentary of philosophy historian on one mathematical notation)

Abstract :  In the historical, philosophical and general cultural context, the history of the appearance, evolution and existence of the main visual (conditionally graphic) symbols of infinity is considered. Several significant points, or cultural chronotopes of this history, were considered, starting from the mathematicians of the New Time (J. Wallis, L. Euler) and Modern Time (G. Kantor, representatives of “Lusitania”) with the subsequent comparison of these concepts with the data of ancient “pre-history”: the inscription “E” on the Delph’s Temple and the graphics of Crete-Miken gems. The latent presence of representation of the Absolute in the “conditional” notation is shown. The original illustrative material is given.

Key words: symbols of infinity, chronotope, mathematical notation, Absolute, inscription in Delphi, Crete-Mycenaean gems, D. Wallis, L. Euler, G. Kantor, “Lusitania.”

 

В данной коллекции, по возможности, опишем точное место и время (культурный хронотоп) первого появления известных в истории науки символов бесконечности. Описания попробуем совместить с некоторыми реконструкциями собственной жизни этих замечательных символов.

Месторождение – 1. Первым выступает Джон Валлис, вернее, Уоллис (John Wallis, 23.11.1616 – 28.10.1703), английский математик-самоучка, который применил знак ∞ в 1655 г. сразу в двух трактатах – «О конических сечениях» [1, 4] и «Арифметика бесконечного» [2, 152–153, passim], [3, 196]. В современном справочнике по истории математической нотации поясняется, что данный знак вводился Валлисом «для указания неограниченного возрастания» [4, 18], т.е. для обозначения потенциальной бесконечности. Так ли это? С самого начала трактата «О конических сечениях» Валлис развивает «метод неделимых» Кавальери, переходя от геометрических построений к алгебраическим, для чего ему понадобилась нотация «бесконечно малых» (т.е. бесконечно убывающих) величин, которые он обозначает как 1/∞, и поясняет при этом: esto enim ∞ nota numeri infiniti;[1] – «пусть же ∞ будет знаком бесконечного числа» (перевод Н.К. Малинаускене).

Иными словами, Валлис хлопотал о введении именно «бесконечно малых», и при этом пользовался понятием «просто» бесконечной величины как готовым, присваивая ему удобное обозначение, и явно не нуждаясь в уточнении, завершенная ли это бесконечность или потенциальная.

Важно, что у Лейбница, скорее всего, знавшего о работах Валлиса и чрезвычайно внимательного к любой, не только математической символике, знак ∞ применяется совсем иначе, – как знак тождества, например, в рукописи «Первоначальные основания логического исчисления» (1690):

«(3) A ∞ A.

(4) A не ∞ B (не-A)» [5, 617]. Вопрос, был ли у Лейбница особый знак для бесконечности, отложим до разведки следующего месторождения.

Валлис не оставил обоснований либо пояснений к своему выбору. Известная гипотеза, что он «использовал латинский символ, означавший 1000» [4, 18] и [3, § 421][2], представляется мне искусственной, а также излишне, даже вопиюще… латиноцентричной. К сожалению, такую же «избыточную» точку зрения пропагандирует и известное исследование Карла Меннингера, в котором знак ∞ назван «странным значком» [6, 304]. Но подчеркнем, во-первых, что первоначальное (архаичное) латинское обозначение для «очень большого» числа (здесь, 1000) выглядит простовато и совсем не близко к нашему красивому знаку ∞: это круг, поделенный пополам вертикальной чертой. Отметим попутно: из такого «поделенного круга», согласно современной реконструкции [6, 303], «отделились» знак цифры 500 (правая половина круга – D) и знак цифры 100 (оставшаяся после деления левая дужка круга – C). И уж совсем не похожа на знак ∞ окончательная форма этой цифры в латинской передаче – M (mille, тысяча). Интереснее, во-вторых, другое: Валлис как блестящий знаток латыни, иврита и греческого языка (при этом, греческий особо засвидетельствован рядом исследователей), для обозначения особого числа мог уверенно брать знак именно из греческого алфавита, причем, последнюю букву оного – о-мега, «о большое»[3]. Грекоцентризм Валлиса проявился здесь с особым изяществом. Поскольку в своих трактатах он уже и без того обильно применял греческие буквы для алгебраической нотации, ему важно было особо выделить для nota numeri специальный знак, и потому вместо очевидного ω он вводил старинное написание «о-мега», известное в скорописном, так называемом минускульном письме как раз в форме ∞ (см. примеры минускулов для ω в сводной таблице [7, 157]).

Нельзя удержаться от такой ассоциации из возможного здесь «пучка смыслов»: латинское название упомянутого типа скорописи есть minusculus, то бишь маленький, что как нельзя лучше могло бы инициировать выбор ∞ для введения бесконечного в целях работы с бесконечно малыми. Не эта ли ассоциация мелькнула в голове Валлиса, имевшего, надо полагать, богатую языковую интуицию?

Конечно, разбираться с ассоциациями и интуициями, которые почти никогда не оставляют видимых следов в ученых трактатах, – дело само по себе неблагодарное. Но об одной ассоциации, которая прямо напрашивалась именно для научной публикации, но так и не была произведена на свет, приходится здесь заметить особо. Речь пойдет, конечно, о лемнискате Я. Бернулли. Публикуя в 1694 г. одно из исследований о деформациях «плоского стержня-эластика» (открывая важную страницу «сопромата»)[4], он ввел в научный оборот очередную замечательную кривую, которую, в современных терминах, определяют как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек-фокусов постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами. Бернулли отметил, что новая кривая схожа с цифрой 8, а также с симпатичной повязкой-бантиком, которая еще в Древней Греции (величаясь там λημνίσκος) помогала крепить лавровый венок на избранные головы. Потому и назвал кривую подобающе – lemniscus [8, 262]. А то очевидное, что лемниската в точности описывает контур Валлисова знака, так и не пришло в голову Якобу из славного семейства Бернулли[5]

Не покидая область лемнискаты (и символа ∞), отметим одно важное свойство этой, действительно, замечательной кривой. Свойство хорошо наблюдается, если представить лемнискату параметрически (через степени параметра p – но само уравнение с параметром здесь, для экономии места, опускаем) в прямоугольной системе координат (x y), где p2 = tg (π/4 – φ), а    φ есть угол в полярном представлении этой кривой. Уравнение полностью описывает данную кривую, когда наш параметр пробегает всю вещественную прямую от − ∞ до + ∞, причем, когда параметр стремится к − ∞, точки кривой стремятся к двойной точке (0 ; 0) из второй координатной четверти, справа и снизу, а когда параметр стремится к + ∞, то точки – из четвертой координатной четверти, слева и сверху. Встречно и с наглядным «замедлением» возле двойной точки…

Нам эта картинка, построенная при изменениях параметра p на фиксированном шаге, еще пригодится, когда будем разглядывать знак бесконечности у Эйлера.

Сделаем еще одно замечание, возможно, лежащее немного за рамками истории знака бесконечности у Валлиса. Представляется интересным (и требующим, конечно, своего специального исследования) сам факт, что изображение «лежачей восьмерки» каким-то странным образом и внезапно появилось в европейской культуре, причем в особом контексте, равно далеком и от теоретических проблем вычислений, и от практики письма греческим минускулом. Этот особый контекст – водяные знаки на бумаге. Удивительно, но факт: одним из самых первых водяных знаков, которые были запечатлены на продукции итальянской бумажной фабрики в Фабриано, почему-то оказался именно «лежачей восьмеркой» (датирован 1293 годом) – это обнаружил итальянский исследователь филиграней Аурелио Дзонги[6]. Причем называть знак «восьмеркой», сразу поправимся, было бы не очень правильно, ибо арабская нотация для цифр в ХIII веке еще только начинала входить в обиход, она была известна очень немногим. Удивительно и другое: больше этот знак нигде и никогда не повторялся, его мы не найдем среди десятков тысяч иных филиграней, запечатленных на бумаге Средневековья и Возрождения. Поэтому в знаменитом каталоге «Les Filigranes. Dictionnaire historique des marques du papier» Брике (C.M. Briquet) этот знак помещен в разделе «Филиграни неопределенные (неизвестного или загадочного значения)» под очередным номером 16016[7]; всего, на всякий случай отметим, в этом разделе сто восемь «загадочных» водяных знаков, №№ 16005–16112. Такой перед нами возникает действительно загадочная прото-вспышка символа, ставшего лемнискатой.

Вспоминая теперь о Валлисе и его нотации, осталось прибавить, что в дальнейшем европейская культура не оставила в забвении «обиженную» Валлисом букву ω, вернее, более известный вариант ее начертания – сначала усилиями Г. Кантора, перед которым откроется перспектива именовать и обозначать целые системы бесконечностей (подробнее об этом см. в Месторождении-3), а затем в грандиозных построениях отца Тейяра де Шардена с его точкой Ω. «Точка» эта явилась тихо: сначала на довольно схематичном рисунке, символизирующем развитие «человеческого пласта» и конвергенцию «в точке Омега», причем длительность ее (конвергенции живых форм), отсчитывая от современности, должна быть, по Тейяру, «порядка нескольких миллионов лет» [12, 156], а затем при изложении проекта «сверх-жизни» всего человечества и необходимости «признать реальность существования и свечения уже в данный момент этого загадочного центра наших центров, названного мною Омегой» [12, 211].

Месторождение – 2. Великий математик Леонард Эйлер (Leonhard Euler, 15.04.1707 – 7.09.1783), родом происходивший из Швейцарии, а затем полжизни проработавший в России при идеальных условиях для творчества, созданных ему российским правительством и Академией, оставил громадное, фактически необозримое идейное наследие. При этом он стал создателем очень продуманной и удобной системы терминологии и символики для большинства классических областей математики. Эта система практически используется доныне и повсеместно. Тем удивительнее, что одно его оригинальное нововведение, а именно, обозначение для бесконечности (вернее, для некоторого «сорта» бесконечности), чрезвычайно интересное и, кажется, даже попросту «говорящее», так и не вошло в научный оборот[8]. Вот это месторождение – 1744 год, и значок для бесконечности, несколько похожий на титло, мы находим у Эйлера в «Различных наблюдениях о бесконечных рядах» [13, 174].

«В своих необозримых экспедициях в область рядов» (по образному выражению А. Шпайзера) наш великий математик часто посещал обширные области бесконечных множеств, возникающих при сложении и перемножении дробей, в числителях и знаменателях которых своеобразно чередуются простые и целые числа. В результате элементарных операций можно было получать многочисленные замечательные результаты – и 1, и 0, и число π, и некоторую его долю, и бесконечное (infinitum), и даже, в случае бесконечного произведения дробей

2/1 3/2 5/4 7/6 11/10 13/12 и т.д.

(о нем как раз идет речь в Corol. I упомянутого трактата), в точности абсолютную бесконечность (absolutum infinitum), каковой и присвоен этот особый значок. Отважный математик брался судить также о логарифме такой бесконечности (логарифм обозначен буквой l), он будет фигурировать как ключевое звено в конце «Наблюдений» при доказательстве теоремы 19 [13, 188]. Но это – уже детали и отвлекающие подробности.

Что хотел выразить Эйлер? Что «говорит» его знак бесконечности?

Обозначение это похоже, вроде бы, на латинскую S – а это первая буква важнейшего слова summa, чаще всего мелькавшего перед глазами творцов математического анализа и ХVII-го, и ХVIII-го веков, и отсюда уходит прямая дорога к выбору Лейбницем знака интеграла (туда мы еще зайдем, чуть позже). Только лигатура S у Эйлера претерпела два преобразования, она а) зеркально отражена и б) повернута на 90°, в любую сторону, дабы сменить вертикальное положение на горизонтальное. Такой знак суммы, которая предполагает в результате бесконечную величину, вполне мог корреспондировать с прихотливым движением вычислений, проделываемых умом Эйлера. Каких именно вычислений – не берусь здесь судить, да нам и не по чину особенно погружаться в «кухню» гениального вычислителя. Вместо этого заметим еще, что у преобразованной лигатуры S с каким-то явным акцентом – жирными точками – завершены обе ее оконечности. Будто бы Эйлер принялся повторять форму знака ∞, по Валлису[9], но не провел до конца тех линий, что с двух сторон должны смыкаться к общему центру (к узловой, или двойной точке), а оставил каждую в своем индивидуальном бесконечном кружении. Не правда ли, эта конфигурация (для некоторого образа вычислений) очень схожа с той замечательной кривой, что мы описывали выше, вспоминая Якоба Бернулли и его лемнискату в параметрическом исполнении? Только в лемнискате две бесконечности все-таки «сходятся» (завершаются) в одну общую и потому «двойную» точку, а вот с подачей Эйлера они соблюли, при всей своей «близости», некоторую символическую автономию (незавершенность).

Наши размышления над формой этого «говорящего» обозначения невольно приводят к предположению о том, что взгляды Эйлера на проблему бесконечности были оригинальными, особыми и сложными (и, возможно, до конца не проявленными, а потому доныне плохо изученными). Что не удивительно – его черед мыслить самостоятельно настал аккурат посредине истории, в которой математические гении творили классический анализ: Ньютон и Лейбниц уже сделали свое дело, а Коши еще не явился. Анализ только-только зрел и становился. Потому не случайно, к примеру, его замечание о знаке  вместе с критикой лейбницевой концепции интеграла: «Этот знак ∫ обычно выражают словом сумма, что проистекает из ошибочного понятия, будто интеграл есть сумма всех дифференциалов (omnium differentialium), а это можно принять не с большим основанием, чем то обычное представление, будто линии состоят из точек» [14, 4]. Мол, из чистых нулей и получишь нуль, даже если этих нулей бесчисленное множество. Но ведь именно об этом как раз и хлопотал Лейбниц (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 21.06.1646–14.11.1716), когда в заметке от 29 сентября 1675 г. «ввел знак бесконечно малой разности d и знак суммы бесконечно малых величин в формах l = ya  и l = ya»,

где знаки «l – от слова linea; l обозначал сумму всех линий-ординат, составляющих площадь плоской кривой; множитель a представлял собой постоянную и вводился для соблюдения размерности площади» [15, 159].

Да, у Лейбница получалась в точности сумма, только состоящая не из точек, а из вертикальных линий-ординат, «всюду плотно» закрывающих оцениваемую площадь под кривой. Признаюсь, что когда задумывал эту заметку, то немного колебался, следует ли считать знак ∫ еще одним символом бесконечности. Ведь для Лейбница он явно носил именно такой смысл, причем смысл бесконечности актуальнойзавершенной, в необходимости которой философ нисколько не сомневался – яснее ясного об этом сказано в его письме к Симону Фуше (1693)[10]. Поступим, пожалуй, так: месторождение знака интеграла (и дифференциала) мы зафиксируем в данном ряду символов, но только с прибавлением и учетом изложенных выше сомнений Эйлера, со своими резонами почему-то критиковавшего ∫ и аккуратно отличавшего от .

Закончим еще одним наблюдением о символе бесконечности, по Эйлеру, или, лучше сказать изысканно, спекуляцией (от ныне полузабытого лат. speculatio – умозрение) о нем.

Выше уже мимоходом замечалось, что очертания символа напоминают титло, т.е. довольно известный вспомогательный знак, который до сих употребляется в церковнославянских текстах, или – несколько еще расширяя сферу наблюдений – отметим сходство со значком тильды, которую принято проставлять над знаками операторов, почему тильда особенно популярна в современной квантовой механике. Спрашивается, не входила ли форма тильды / титла в круг интуиций (ассоциаций) Эйлера, когда он творил свое обозначение? И, если входила, то какую именно семантику он мог извлекать из этой формы?

Вопрос даже в такой прямой постановке – не простой. Известно, что надстрочный знак, призванный обозначать сокращение (если проставлен над словом) или цифровое значение (если – над буквой), издавна использовался в греческой, латинской и, позднее, кириллической графике и впервые, видимо, был введен еще Тироном, рабом-писцом при Цицероне (notae Tironianae). У Тирона это был штрих, горизонтальная черточка. Однако в дальнейшем такая форма, «начиная с IХ в., постепенно утрачивает свой первоначальный характер, вследствие чего штрих является иногда то в виде прямой линии с крючками на концах, то в виде волнистой черточки» [17, III].

С тех пор много времени утекло. Ушло средневековье, по ходу которого знаки сокращения постепенно исчезали из культурного оборота Европы. К ХVIII веку, в пору Эйлера тексты с титлами встречались уже только у русских, и только в книгах на церковнославянском языке. Конечно, если бы Эйлеру случилось бы стать не математиком, а, скажем, классическим филологом, да еще специализировался бы он на палеографии древних языков, вот тогда бы он встретился…. Причем важно еще заметить: титло примерно с ХV в. уже вовсе не использовалось ради экономии места (дорогой пергамент надо было беречь, бумагу – нет), и стало общепринято размещать под ним почти исключительно выражения для священных понятий (Богородица, Ангел, Господь и др.), тогда как слова, обозначающие понятия «низкие», писались всегда полностью. К примеру, языческий бог обозначался посредством полного написания «богъ», без титла, а христианский Бог всегда представал в слове под титлом, как «Бг҃ъ».

Итак, титло как известное сокращение, – но это еще не всё! – и сам способ сокращения как отсылка и ясное указание на особую область, как обозначение священного, сакрального, высшего, абсолютного: вот какой смысл, думаю, извлекал и оценил Эйлер. И такое сердцем принимаемое «титло» ввел в математический текст, обозначая «абсолютное бесконечное».

Разумеется, у нас нет никаких «документальных» подтверждений к подобному рассуждению; их, скорее всего, и быть не может. Но уже одно то, что великий математик слыл очень набожным человеком и, будучи лютеранином, не чурался православных служб, этого житейского факта забыть или обойти бы не хотелось.

Месторождение – 3. Георг Кантор (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 19.02.1845 – 06.01.1918), немецкий математик российского происхождения[11], не «просто» вернул в математику представление об актуальной бесконечности, не «просто» ввел в научный оборот несколько обозначений для бесконечных совокупностей, но и сотворил при этом целую систему символов. И, как известно, одновременно он создавал основы математики, новый базовый язык теории множеств, для изъяснения на котором эти символы, в первую очередь, и были предназначены. Для него, вероятно, о бесконечности попросту неудобно было размышлять без привлечения именно символов бесконечности.

Рискнем высказаться резче, с намеренным акцентом на перманентную для поисков Кантора задачу символизации, или правильного называния:

– с самых первых работ 1870-х годов, где ставился «частный» вопрос об однозначности представления функций тригонометрическими рядами (когда числовые совокупности назывались еще вполне нейтрально, например, «область А», «область B», но в них автор уже видит «зародыш необходимого и абсолютно бесконечного обобщения» [19, 12], или когда вводятся многообразия, Mannigfaltigkeiten, конечные или бесконечные, и Кантор осторожно, только лишь «для краткости изложения» предлагает «воспользоваться простой символикой» и вводит фундаментальные представления об эквивалентности произвольных множеств и их мощностях [20, 22–29]),

– или в кульминационной точке создания всей теории трансфинитных множеств, в пятой по порядку работе из серии публикаций «О бесконечных линейных точечных многообразиях» в Mathematischen Annalen (когда принятая в математике потенциальная бесконечность критично называется «несобственно бесконечным» [21, 65], когда на «абсолютно бесконечной последовательности» указываются «естественные отрезки» новых «числовых классов» – трансфинитных чисел [21, 66, 74], а сами эти «новосозданные числа», die neugeschaffende Zahl Кантор именует знаком ω, демонстрируя отказ от всеми используемого знака  [21, 92], а также [26, 283]),

– и даже в конце творческого пути, когда теория трансфинитных множеств была создана и наступил знаменитый «кризис» ее (в письме к Дедекинду от 28 июля 1899 г. Кантор говорит об особых, «неконсистентных» бесконечных множествах как «абсолютно бесконечных» [22, 363–364] и храбро обозначает совокупность «всех порядковых чисел» как Ω [22, 364–365], а совокупность «всех алефов» как ﬨ [22, 367][12], с тем, чтобы выказать готовность к работе даже с такими «немножественными» множествами), –

кажется, всегда и всюду Кантор неотрывно и пристально сосредоточен на именовании, обозначении, символизации всех вновь открывающихся перед ним (про)явлений бесконечности. Как ветхозаветный Адам  (ﬡﬢﬦ)в раю, который даровал имена «всем скотам и птицам небесным и всем зверям полевым» (Бытие 2: 20). Так что отнюдь не случайной и вовсе не перекультуренной представляется известная фраза Давида Гильберта о «канторовском рае» для математиков.

Все двадцать или двадцать пять лет активного математического творчества Георга Кантора были еще и временем непрерывного, активного и сознательного символотворчества, – это непреложный факт истории науки.

Систему символов бесконечности, по Кантору и после Кантора, можно представить по нескольким разделам, или направлениям.

Во-первых, это ныне хорошо известные обозначения на базе греческого алфавитного знака ω для ординальных чисел, которые введены Кантором уже в небольшой работе 1874 г., где характерно[13] названы именно «символами бесконечности», Unendlichkeitssymbole [23], а далее куда более детально рассмотрены в [21] именно как система ординалов. Нетрудно увидеть и преемственность, и некоторое отталкивание от символа Валлиса.

Во-вторых, это столь же известная нотация, введенная Кантором существенно позднее, в 1895 г. на базе еврейского алфавитного знака ﬡ для кардинальных чисел [24, 179, 183], ставшая системой кардиналов-алефов.

В-третьих, и далее, «новосозданные числа» были представлены Кантором как частный случай более общей системы порядковых типов, в том числе n-мерных (впервые в [21, 92–94], но подробнее всего в работе 1884 г. [25][14]). Для номинации и нотации порядковых типов Кантор не стал вводить новые (диковинные) значки, но использовал известные обозначения операций сложения и умножения, заново осмысленные как «символы операций» (мы бы сказали – как операторы), а также определил их аналоги для работы специально с актуальными бесконечностями, – как «символы операций» кохеренции, адхеренции и инхеренции.

В-четвертых, Кантор озаботился особыми именами-символами для определенных, математикам уже хорошо известных бесконечных множеств, или «фундаментальных последовательностей» (например, η – знак для всех рациональных чисел, больших 0 и меньших 1, в их «естественном» упорядочении [24, 194], или θ – для всех действительных чисел [24, 200]), и во многих случаях успешно работал с подобными «символами бесконечности» в особой алгебре порядковых типов. С такой чисто символической формой, даже не поясняя толком, что именно понимается под «алефом», ему сразу же удалось выразить теоретико-множественное «E=mc2», т.е. мощность линейного континуума:  ט = 2[24, 179].

В-пятых, по ходу полемики вокруг теории множеств Кантору пришлось вполне символически описывать «все главные отношения», в которые может вступать мысль при встрече с реально бесконечным: это in Deo («во внемировом вечном и всемогущем Боге или в творящем начале»), in concreto («в конкретном или в сотворенной природе»), in abstracto, т.е. «поскольку оно может быть постигнуто человеческим познанием в форме актуально бесконечного» [26, 264]. Возникающую здесь комбинаторику точек зрения на бесконечность, которые, как отмечает Кантор, «удивительным образом, кажется, все представлены в истории мысли» [27, 265], позднее, уже на языке алгебраического символизма описал П.А. Флоренский [28, 183].

Наконец, в-шестых, Кантор как-то привычно и буднично предлагал «воспользоваться простой символикой», вводя в научный оборот вроде бы малозаметную, но на самом деле важнейшую, ключевую для теории бесконечных множеств процедуру установления однозначного соответствия между элементами двух множеств (отсюда, заметим, вскоре вырастет знаменитый диагональный метод), и награждал специальным знаком ~ возникающее здесь отношение эквивалентности [20, 27–28], [21, 86]. Канторово особое равенство, или тильда, или «оборотное S» Эйлера, – как ни назови, – такое обозначение выглядит органично в этой системе символов бесконечности, не правда ли?

Как наиболее зрелая из всех известных попыток «именовать бесконечность», Канторова система символов несет на себе самые яркие и, возможно, самые родовые черты таковой ономатологии. Это, прежде всего, доверие слову, восходящее к раннеэллинской традиции понимать начала, важнейшие элементы мiра как «буквы» (στοιχεῖα, только после Лукреция ставшие elementa), – буквы, которые с благодарностью берутся из доступного мудрецам сонма-алфавита «мiровых» букв. Это, далее, универсализм языка, т.е. заключенная в системе реальная свобода выбора (в свободе «заключается сущность математики» [22, 80]) и обязанность в необходимых случаях переходить от одного алфавита к другому[15]. Это, наконец, прагматический операционализм (даже «операторность») такой нотации, всегдашняя готовность «условных» знаков к эффективному включению в безусловную работу математической мысли[16].

Традицию ономатологии бесконечного, вслед за Кантором, продолжили русские математики. Приведем только два примера к тому, один вполне шутейный (но шутка задевает очень серьезный повод иерархии алефов), другой же действительно всерьез (и здесь тоже возникнет иерархия, но – порядковых типов).

Серьезная шутка с бесконечностями известна в пересказе академика Л.А. Люстерника, сохранившего для нас некоторые подробности обычая товарищеских поощрений в знаменитой группе молодых математиков, объединившихся вокруг Н.Н. Лузина. Это происходило в Москве, в 1920-е годы. «Каждый вступающий в Лузитанию получал звание алеф-нуль. За каждое достижение, как, например, оставление при университете, первый доклад в Обществе, первая публикация, первый сданный магистерский (аспирантский) экзамен и т.п., к индексу добавлялась единица. П.С. Александров и П.С. Урысон получили высокие звания “алеф-пять”. <…> Самому Н.Н. Лузину было присуждено звание алеф-семнадцать. Н.Н. Лузин рассказывал, что И.И. Жегалкин выразил удивление: “Математики почему-то считают, что континуум имеет мощность алеф-1. А почему, например, не алеф-17?”. Так появилась “гипотеза Жегалкина” о том, что континуум имеет мощность алеф-17. Вот потому-то Лузину и было дано это звание, а сам знак א 17 стал “гербом” Лузитании[17]. Некоторые объявления о заседаниях математического кружка украшал этот “герб”. Д.Ф. Егоров получил звание алеф-омега. С одной стороны, это мощность более высокая, чем алеф-17, но, с другой, доказано, что алеф-ω не может быть мощностью континуума. Мы видели, какие дипломатические тонкости проявлялись при присуждении “званий”» [31, 151]. Осталось прибавить, что «гипотеза» Ивана Ивановича Жегалкина (22.07.1869–28.03.1947) – отнюдь не «просто» изысканное bon mot или пустячный повод для интеллектуальных анекдотов уже хотя бы потому, что она исходила от автора первой на русском языке (1907) монографии по теории множеств [32]. Скорее реплика Жегалкина удачно вписывалась в некоторую мифологию, с энтузиазмом воспринятую «лузитанцами», и отображала общий скептический настрой по отношению к актуальной бесконечности, в Лузитании, надо полагать, культивированный.

Как и И.И. Жегалкин, строго в русле Канторовых идей (и в традиции Канторовой нотации) двигался Владимир Леонидович Некрасов (17.02.1864–16.05.1922), который после годичной стажировки в университетах Германии, Австрии и Швейцарии написал блестящую магистерскую диссертацию [33], а далее успешно профессорствовал в Томском университете. Им ставилась весьма амбициозная задача «ввести некоторый порядок» [33, 102] в изучение различных «точечных областей» (множеств), начатое, как известно, революционными работами Г. Кантора. Самая очевидная из подобных «областей» – это отрезок или ось аргумента, относительно которой, до Кантора, «как будто все молчаливо соглашались, что там изучать нечего» [33, 1]. Некрасов установил три основных порядковых типа, или, как он выражался, три «основных типа размещения», сразу и «основных» и «элементарных», из которых ему хотелось (и в дальнейшем – удалось) построить «все разнообразие мыслимых областей» [33, 102]. Эти типы размещения получили следующие символические обозначения, причем для первого типа была прямо заимствована нотация у Кантора:

ω – тип размещения отрезков без промежутков между ними, при движении к пределу вправо (как в привычном натуральном ряде чисел), или *ω – при таком же размещении и движении к пределу влево (для целых положительных чисел – при движении к 1 или, для дробных, к нулю),

*ω + ω – комбинированный тип размещения отрезков с движением и вправо и влево (как в привычном представлении оси аргумента в виде ± ∞),

ὦ – совершенный, или разреженный тип размещения[18], или тот же комбинированный тип *ω + ω, но все отрезки вводятся с промежутками между ними, на свободной части основного интервала [33, 121–123].

Все дальнейшее изложение позволяет, буквально, «видеть, как комбинация только трех основных типов ω, *ω и ὦ может дать размещение произвольной сложности» [33, 198], курсив Некрасова.

А мы подчеркнем другое слово, «видеть». Оно здесь проскочило не случайно: кроме удобной буквенной символизации бесконечностей (все размещения, напомним, бесконечны), В.Л. Некрасов предложил и чисто геометрический способ представления «типов размещения» с помощью своеобразных диаграмм, точно отражающих поведение этих бесконечностей. Для образчика мы приводим одну из самых первых, еще относительно простых диаграмм Некрасова, а всего их, всё более и более изощренных, можно узреть здесь около 25. И всякий раз они по-своему изображают структуру линейного континуума как «единой» бесконечности.

Месторождение – 4. Как сообщает отечественный справочник по математической нотации, «слово бесконечный в математическом смысле стало употребляться по почину художника Дюрера (с 1525 г.)» [4, 17]. Признаться, воспринимаю это утверждение весьма скептически. Однако из уважения (слабо сказано) к творчеству Альбрехта Дюрера (Albrecht Dürer, 21.05.1471–06.04.1528) совершим-таки экскурс к знаменитому трактату «Руководство к измерению с помощью циркуля и линейки», что в 1525 году напечатан в его родном Нюрнберге.

Здесь, в первой книге трактата, сугубо для широкой публики и специально для братии художников (потому не на «ученой» латыни, но по-немецки: на этом народном языке в старинном его варианте приводятся далее цитаты) Дюрер разъясняет понятие параллельных линий. Используя рис. 26, великий художник демонстрирует, как таковые параллельные «могут подойти друг к другу сколь угодно близко», allweg enger zuozamen getzogen muegen werden [34, 28], однако никогда друг с другом не пересекутся.

Для этого проводятся параллельные линии ab и cd, затем предлагается продолжить обе за концы b и dпричем с очень симпатичной ремаркой – продолжить либо действительно, «либо в воображении», oder im synn gedacht [34, 28]. На верхней линии, в продолженной части, ставятся точки, обозначенные числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 etc. Эти точки соединяются отрезками с точкой c в начале нижней прямой, и, поскольку на продолжении линии ab может быть «бесконечно много чисел», vnentliche zal[19] [34, 29], эти отрезки будут всё ближе к cd, но никогда – что и требовалось доказать, то бишь показать – с ней не пересекутся. Рисунок 26 из трактата Дюрера неплохо воспроизводит определение (23-е) параллельных прямых в ΣΤΟΙΧΕΙΑ Евклида. Только великий грек предлагал большее: продолжать прямые в бесконечность в обе стороны, и при этом ни с той ни с другой стороны, гарантировал геометр, они не пересекутся.

Как видим, на изящной иллюстрации Дюрера понятие бесконечности (как сугубо вспомогательное, нужное для демонстрации основного, родового свойства параллельных линий) явлено в форме бесконечно продолжаемого числа (в форме натурального ряда чисел), и вместе с рядом чисел разворачивается, пусть даже только «в воображении», бесконечно продолжаемая прямая линия. Невольно вспоминается Георг Кантор, которому через 350 лет после Дюрера доведется строить «точечную» теорию множеств, одинаково подходящую и для арифметических объектов, и для геометрических.

Разумеется, о каком-то «почине» Дюрера перед лицом профессионалов («в математическом смысле») говорить не приходится[20]. Без особого труда отыскиваются многочисленные предшественники его, начиная с Николая Кузанского и его трактата об «ученом незнании» De docta ignorantia (1440)[21]. Следом вспоминаются Томас Брадвардин и его Tractatus de continuo (около 1335) или Жан Буридан, – только не в связи с его знаменитым ослом на распутье, но – с трактатом о природе точки Quaestio de puncto (ок. 1350). А далее, обнаружив в мысли Средневековья важную нюансировку нашей темы при употреблении собственно «бесконечного» (infinitum) и «беспредельного» (interminatum), мы плавно и неуклонно уходим в античность. В Греции, как известно, всё есть. И понятие (сразу и математическое, и философское) там тоже было заготовлено, и очень даже давно – ἄπειρων, беспредельный, безграничный, но также в смысле бесконечный, бесчисленный (между прочим, и незнающий, т.е. не ведающий пределов). Словом, апейрон[22]. Хорошо видна структура и, в данном случае, этимология этого понятия:

πέρας, или πεῖραρ (предел, граница) + привативная частица ἀ.

Между прочим, в упомянутом выше определении параллельных прямых у Евклида так прямо и сказано: ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον.

Но мы хотим здесь говорить не о понятии, но о символе бесконечности. И он в Греции тоже был, и есть. Думается, его местоположение – знаменитый храм Аполлона в Дельфах. Время его появления – весьма неопределенное, довольно «апейронное», оно приходится на пору жизни «первых философов», отсчет которым традиционно начинают с Фалеса Милетского, жившего на рубеже VII – VI вв. до н.э. Их изречения-афоризмы украшали упомянутый храм. Наконец, вид этого символа – заглавная (прописная) греческая буква Ε. Да, здесь также, как и для прочих случаев, для всех более поздних обозначений бесконечности, снова предстает одиночная буква из определенного алфавита, здесь – п р о с т о  Ε.

Эллины забыли (или хитроумно, одиссеево, лаэртидно утаили от нас), что именно означала эта «просто буква». Во всяком случае, образованнейшему Плутарху Херонейскому (ок. 46 – ок. 127) пришлось очень удивиться, когда однажды он оказался в Дельфах. Местные жрецы весьма разнообразно и как-то уклончиво разъясняли ему смысл издревле почитаемого символа. Поневоле Плутарху пришлось сочинять специальный трактат, где он с особой тщательностью собрал и систематизировал все мыслимые, или ему понятные, толкования. Трактат деловито назван «Об Е в Дельфах» (вернее, Περὶ τοῦ εἶ τοῦ ἐν Δελφοἶς, «О том εἶ, которое в Дельфах»[23]), и традиция всегда включает его текст в обширный сборник трудов писателя Ἠθικά, «Этика», или на латыни, Moralia, «Моралии».

Плутарх, стало быть, насчитал целых девять различных смыслов для символа «Е», от самых очевидных (цифровое значение 5, как намек на пятерых «первых мудрецов», или порядковое положение буквы для гласного звука в алфавите, второе, указывающее на вторую планету в космологии греков, Солнце, т.е. Аполлона) до весьма изощренных, вроде восклицания «о, если бы» (принимая Е как союз ει, если).

И решает: «Думаю, буква эта означает и не число, и не порядковый номер, и не связку, и не что-либо другое наподобие требующих дополнения частиц; а это – законченное в себе словесное обращение к Богу, которое своим смыслом наводит говорящего на понимание Бога в его силе и сути. <…> мы говорим Богу, εἶ, ты еси, воздавая ему должное именованием истинным и неложным и единственно подобающим Ему Единому, – именованием бытия» [39, 19][24].

Итак, п р о с т о  Ε суть или равно Т ы  е с и, обращенное или к богу, в случае Плутарха, или к Богу, когда это воспринимает христианская душа.

Е – это Имя Бога.

То, что не смог или не умел сказать о «должном именовании» Плутарх, выразил вскоре Дионисий Ареопагит: «Он сам есть и Вечность (αἰών), и Начало (ἀρχή), и Мера Бытия (μέτρον πρὸ οὐσίας ὤν)» (5, 8), «Он – и Предел всех (καὶ πέρας πάντων), и Беспредельность (καὶ ἀπειρία)» (5, 10), – в трактате Περὶ θείων ὀνομάτων, О божественных именах [40, 210–211, 218–219]. Здесь даже нашлось место ясным математическим аллюзиям, и арифметическим и геометрическим (5, 6) [40, 205].

К только что намеченной поздней истории (прочтения и понимания) символа «Е» осталось прибавить гипотезы о его происхождении. Насколько мне известно, самое лучшее собрание таковых гипотез составил французский археолог и филолог-классик Робер Фласельер (Robert Flacelière, 29.05.1904–23.05.1982), который в 1941 г. опубликовал свой перевод и комментарий трактата Плутарха в трудах Лионского университета [41]. Фласельер различал две группы ученых с их объясняющими теориями. Одни ученые продолжали глагольно-повествовательную традицию, намеченную еще у Плутарха, и прочитывали букву Е как некий призыв или приглашение – «пошёл, входи [в мой храм]», от εἰ, или как утверждение-провозглашение «он [бог] сказал», от . Другие же интерпретаторы-толмачи занимались исключительно происхождением контура изолированного знака «Е». Они, для примера, сводили это очертание к виду трех столбов, установленных на базе, и символизирующих трех харит (тогда получается буква Е, повернутая на 900 влево, т.е. фигура кириллической буквы Ш). Однако наиболее интересной Р. Фласельеру представлялась трактовка «Е» как знака минойского происхождения [42], который нередко встречается, например, на критских геммах (здесь тоже, заметим, трехэлементная Ш-образная композиция, причем с центральной симметрией!), а также на изображениях «земного пупа» уже в Дельфах. Итак, трехчастная фигура, «Троица», которая могла быть символом некой божественной силы. В дальнейшем минойский знак был вполне усвоен греками как атрибут уже своего божества, например, Аполлона, и таковым почитался всю античность, включая поздний римский период, который как раз и застал Плутарх.

P.S.: из жизни символов эпохи бронзы. Уже покидая было тему «месторождения бесконечности», почему-то надумалось – не столько в порядке следования прежней логике поиска, сколько из прямого и заинтересованного любопытства, – использовать давнюю подсказку Р. Фласельера о «критских геммах». Потому пришлось заглянуть в один из запасников Эгейской культуры, на портал Arachne Кёльнского университета. Здесь хранятся около 10 000 оттисков древних печатей (гемм) из музейных собраний и частных коллекций всего мира [43]. Похоже, не меньше половины этих изображений содержат чисто символические сюжеты, разбирать и реконструировать которые можно сколь угодно долго и, пожалуй, без особых надежд на успех. Но сразу – по горячим следам законченного выше повествования, – бросились в глаза некоторые из них: сюжеты из жизни знакомой нам волнообразно изогнутой линии.

Укладываю рядом несколько оттисков и предлагаю присмотреться. Не правда ли, здесь явно «что-то видится родное»?

Описание простое: базовый завиток (явно напоминает знак Эйлера, или эквивалентность по Кантору) начинает жить своей символической жизнью, он сначала удваивается, затем утраивается, предполагая далее два варианта развития – либо становясь свастикой-трикветром, либо образуя алефо-подобную фигуру, – затем учетверяется… Причем завиток и сам предстает о двух лицах, либо S-образным, либо зеркально тому.

Не составляет особого труда увидеть в этом собрании гемм и прото-лемнискату (уж очень красноречивы бычьи хвостики, игриво соединенные будто бы нам в указание), и обнаружить место зарождения бегущей волны знаменитого греческого меандра. Явно возникают здесь и более сложные композиции, будто специально уготованные для дальнейшего освоения плоскостей и объемов… Сложная жизнь графических символов типа волнообразной линии, как говорится, налицо.

Возможно, налицо и случайные совпадения и сходства. Но что, если… если и те и эти, и художники Бронзового века и мыслители Нового времени черпали (свои образы) совершенно разными чашами, но из одного общего источника? Что, если тот источник и есть – месторождение бесконечности?

Месторождение – 0.

 

ЛИТЕРАТУРА

  1. Wallisii J. De sectionibus conicis, nova methodo expositis, tractatus. – Oxonii: Typis Leon: Lichfield Academiae Typographi, Impensis Tho. Robinson 1655. – 132 p.
  2. Wallisii J. Arithmetica infinitorum, sive nova methodus inquirendi in curvilineorum quadraturam, aliaqe difficiliora problemata matheseos. Oxonii: Typis Leon: Lichfield Academiae Typographi, Impensis Tho. Robinson, 1656. – 152 p.
  3. Cajori F. A history of mathematical notations. Vol. I. Notations in elementary mathematics. – Boston, 1928. – ХVI+456 p. (§§ 1–387); Vol. II. Notations mainly in higer mathematics. – Boston, 1929. – ХVII+367 p. (§§ 388–750).
  4. Александрова Н.ВИстория математических терминов, понятий, обозначений. Словарь-справочник. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008. – 248 с.
  5. Лейбниц Г.В. Первоначальные основания логического исчисления // Лейбниц. Сочинения в четырех томах. Т. 3. – М.: Мысль, 1984. – С. 617–619.
  6. Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. – М.: Центрполиграф, 2011. – 543 с.
  7. Павленко Н.А. История письма: Учеб. пособие для филол. фак. вузов. – Мн.: Вышэйшая школа, 1987. – 239 с.
  8. Bernoulli J. Curvatura laminae elasticae // Acta eruditorum. Lipsiae, Jun. 1694. – P. 262–276.
  9. Выгодский М.Я. Лемниската Бернулли // Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1977. – С. 775–777.
  10. Лихачев Н.П. Бумага и древнейшие бумажные мельницы в Московском государстве. Историко-археографический очерк. СПб., 1891. – 106 с. + [116 табл.].
  11. Лихачев Н.П. Палеографическое значение бумажных водяных знаков Часть 1. Исследование и описание филиграней. СПб., 1899. – ССХII + 512 с. + [17 фототип. таблиц].
  12. Тейяр де Шарден П. Феномен человека. – М.: Гл. редакция изданий для зарубежных стран издательства «Наука», 1987. – 240 с.
  13. Euler L. Variae observationes circa series infinitas // Commentarii Academiae scientiarum Imperialis Petropolitanae. T. 9: Ad annum MDCCXXXVII. – 1744. – P. 160–188.
  14. Euler L. Institutiones calculi integralis. Volume 1. Editio tertia. – Petropoli: Impensis Academiae Imprialis Scientiarum, 1824. – 463 p.
  15. Юшкевич А.П. О возникновении понятия об определенном интеграле Коши // Юшкевич А.П. Математика в ее истории. М.: Янус, 1996. – С. 115–165.
  16. Лейбниц Г.В. Переписка с С. Фуше // Лейбниц. Сочинения в четырех томах. Т. 3. – М.: Мысль, 1984. – С. 267–296.
  17. Церетели Г. Введение // Церетели Г. Сокращения в греческих рукописях. Преимущественно по датированным рукописям С.-Петербурга и Москвы. – СПб.: Типография Импер. Академии наук, 1896. – С. I–ХLIII.
  18. Синкевич Г.И. Георг Кантор & Польская школа теории множеств. – СПб.: Изд-во СПбГАСУ, 2012. – 349 с.
  19. Кантор Г. Обобщение одной теоремы из теории тригонометрических рядов [1872] // Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985. – С. 9–18. Правильнее было бы «Об одном обобщении…».
  20. Кантор Г. К учению о многообразиях [1878] // Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985. – С. 22–35.
  21. Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном [1883] // Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985. – С. 63–105.
  22. Переписка Кантора с Дедекиндом // Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985. – С. 327–371.
  23. Кантор Г. Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел [1874] // Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985. – С. 18–21.
  24. Кантор Г. К обоснованию учения о трансфинитных множествах [1895,1897] // Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985. – С. 173–240.
  25. Кантор Г. Принципы теории порядковых типов. Сообщение первое [1884] // Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985. – С. 246–261.
  26. Кантор Г. К учению о трансфинитном [1887,1888] // Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985. – С. 268–324.
  27. Кантор Г. О различных точках зрения на актуально бесконечное [1886] // Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985. – С. 262–267.
  28. Флоренский П.А. О символах бесконечности. (Очерк идей Г. Кантора) // Новый путь, 1904, № 9. – С. 173–235.
  29. Лейбниц Г.В. Элементы универсального исчисления // Лейбниц. Сочинения в четырех томах. Т.3. – М.: Мысль, 1984. – С. 523–532.
  30. Pragacz P. Notes on the life and work of Józef Maria Hoene-Wroński // Algebraic Cycles, Sheaves, Shtukas, and Moduli Trends in Mathematics. – Basel, 2008. – P. 1–20. – https://www.impan.pl/swiat-matematyki/notatki-z-wyklado~/hwa.pdf.
  31. Люстерник Л.А. Молодость Московской математической школы // Успехи математических наук, 1967, т. 22, вып. 4 (136). С. 147–185. Молодость вспоминалась Люстернику всего в четырех выпусках УМН.
  32. Жегалкин И.И. Трансфинитные числа. – М.: Унив. тип., 1907. – IV+347 с.
  33. Некрасов В.Л. Строение и мера линейных точечных областей. – Томск: Типо-лит. Сибирского товарищества печатного дела, 1907. – VI + 254 с.
  34. Vnderweysung der messung / mit dem zirckel vnd richt scheyt / in Linien ebnen vnnd gantzen corporen / durch Albrecht Duerer zuosamen getzogen / vnd zuo nutz allen kunstlieb habenden mit zuo gehoerigen figuren / in truck gebracht / im jar. M.D.ХХ v. – Дюрер А. Руководство к измерению с помощью циркуля и линейки в линиях, плоскостях и целых телах… – Нюрнберг, 1525. – 182 с.
  35. Матвиевская Г.П. Альбрехт Дюрер – ученый. – М.: Наука, 1987. – 240 с.
  36. Николай Кузанский. Об ученом незнании // Николай Кузанский. Сочинения в двух томах. Том 1. – М.: Мысль, 1979. – С. 47–184.
  37. Лосев А.Ф. Диалектические основы математики. М.: Academia, 2013. – 800 с.
  38. Лебедев А.В. ΤΟ ΑΠΕΙΡΟΝ: не Анаксимандр, а Платон и Аристотель // Вестник древней истории, № 1, 1978, 39–54; № 2, 43–58.
  39. Бибихин В.В. Узнай себя // Бибихин В.В. ΓΝΩΘΙ ΣΕΑΥΤΟΝ. Узнай себя. – СПб.: Наука, 1998. – С. 5–225.
  40. Дионисий Ареопагит. О божественных именах // Дионисий Ареопагит. О божественных именах. О мистическом богословии. Тексты, перевод с древнегреческого [Г.М. Прохорова]. – СПб.: Глаголъ, 1995. – С. 1–339.
  41. Flacelière R. Plutarque sur l’E de Delphes: texte et traduction avec une introduction et des notes // Annales de l’Université de Lyon, 3e série, fasc. II. – Paris: Les Belles Lettres, 1941. – 97 p.
  42. Bates W.N. The E of the Temple at Delphi // American Journal of Archaeology, Vol. 29, №. 3 (Jul. – Sep., 1925). – Pp. 239–246.
  43. Bände des Corpus der minoischen und mykenischen Siegel. – https://arachne.uni-koeln.de/browser/index.php?view%5blayout%5d=siegel.

 

[1] Цитирую это важное место с воспроизведением знака паузы punctus elevatus (;). Саму паузу охотно интерпретирую как многозначительную.

[2] Справедливости ради отмечу, что R. Cajori при этом целиком полагался на «смежников», ссылаясь на курс латинской палеографии W. Wattenbach’a (1872).

[3] Можно предположить здесь библейскую аллюзию к букве Ω, входящей в развернуто-символическое Имя Бога: «Азъ есмь Альфа и Омега» (Откр. 1:8, 22:13); гречἘγὼ εἰμι τὸ ἂλϕα καὶ τὸ ὦμεγαлат. ego sum Α et Ω.

[4] Отмечу любопытный казус истории математики: в известном справочнике М.Я. Выготского в разделе «Некоторые замечательные кривые» говорится о работе Я. Бернулли, «посвященной теории приливов и отливов» [9, 775]. Это так нужно было прочитать латынь, или перепутали с сочинением Даниила Бернулли?

[5] Зато Иоганн Бернулли, сын Якоба, широко использовал этот знак в своих исследованиях другой замечательной кривой – циклоиды, или, как ее называет R. Cajori, таутохроны [3, § 421].

[6] Zonghi A. Le marche principali delle carte Fabrianesi dal 1293 al 1599 (Fabriano, 1881). На данное открытие прямо указывал в свое время Н.П. Лихачев [10, 13]. В работе 1884 г. тот же A. Zonghi следующим образом описывал три древнейшие филиграни: а) «Linee in croce terminate da circoli» (крест, составленный из кругов), b) «Figura della forma del n. » (лемниската), c) «Iniciali I. O.» [цит. по 11, ХХХVII].

[7] http://www.ksbm.oeaw.ac.at/_scripts/php/loadWmIcons.php?rep=briquet&IDsubtypes=689&lang=de. Отметим, что Шарль Брике, в отличие от А. Дзонги, поворачивает изображение на 900 и, тем самым, преподносит его как «восьмерку», однако нисколько не отказывает знаку в загадочности.

[8] Единственное употребление Эйлерова символа в смысле ‘бесконечный’ (для бесконечных рядов) F. Cajori указывает в работе F.A. Prym “Theoria nova functionum ultraellipticarum” (Berlin, 1863), в ее введении [3, § 436]. Один из создателей кристаллографии И. Гессель (1868), добавляю семантики, использовал этот символ для различения «совместимо-равных» (ebenbildlichgleich) и «зеркально-равных» (gegenbildlichgleich) фигур.

[9] Разумеется, Эйлеру был хорошо известен знак Валлиса; например, в письме к Я. Бернулли (14 мая 1743) он преспокойно описывает такой, как бы дважды бесконечный ряд вида 1 + x + x2 + x3 + … + x∞ [3, § 436].

[10] «Я настолько убежден в существовании актуальной бесконечности, что не только не допускаю мысли о том, что природа не терпит бесконечного (как обычно выражаются), а, напротив, считаю, что она повсюду выказывает любовь к нему, дабы тем нагляднее продемонстрировать совершенство Творца» [16, 294].

[11] Петербургский период жизни Г. Кантора и его семьи, долгое время остававшийся туманным и забытым, теперь подробно описан и документирован [18, 6–134]. Изысканиями и хлопотами автора книги Галины Ивановны Синкевич и ее коллег, питерских историков математики, на доме, где родился открыватель трансфинитных чисел, 10 октября 2011 г. установлена мемориальная доска. Спустя полтора года, по совету С.С. Демидова, я сделал фотоснимки этого места. В духе предлагаемых записок, фотографию именую «Месторождение бесконечности».

[12] Эта буква «тав» замыкает современный еврейский алфавит, как «о-мега» завершает алфавит греческий. Заметим, сколь однотипно Кантор обозначил оба типа «абсолютно бесконечных».

[13] И, как сам Кантор потом самокритично расценивал, слишком скромно, – признание в письме к Дедекинду спустя 8 лет [22, 361].

[14] Как известно, эта работа изрядно напугала М.Г. Миттаг-Леффлера, издателя «Acta mathematica», и она была впервые опубликована только в 1970 г. Особо подчеркнем: Кантор недвусмысленно заявлял, настаивал даже, что «порядковые типы» – это ровно те самые «идеальные числа», ἀριθμοὶ νоηθοί, о которых первым заговорил еще Платон и смысл которых для многих поколений философов и математиков был не вполне ясен [25, 247], см. также [26, 305].

[15] Традиция намечена в проекте «универсальной характеристики» Лейбница, где знаки из латинского, греческого и еврейского алфавитов попеременно используются на различных стадиях вычисления как те или иные, разнотипные «числа термина» [29, 524].

[16] Любопытный пример за пределами творчества Кантора, но с участием нотации «алефами», интересующими нас: польский математик и мистик Хёне-Вронский (Hoene-Wroński J.M.) в работе «Philosophie des mathématiques» (1811) вводил особое обозначение вида  [xi](i) для серии фундаментальных степенных функций и считал его «более важным», чем обычное изображение функций, а современный исследователь P. Pragacz (2008) констатировал в этой связи, что «Вронский обладал необычайно глубокой интуицией в отношении математики» и сделал важный шаг к современной теории операторов [30].

[17] Знак «герба» – таков в оригинале публикации. Видимо, правильнее было бы выражать «семнадцатое достоинство» не степенью, а нижним индексом.

[18] В.Л. Некрасов, давая новые имена математическим сущностям, лишь немного совершенствовал Канторову методику использования «омеги», для чего вводил знаки диакритики, прямо заимствованные из древнегреческого алфавита: волнистая черта как «тонкое придыхание» и запятая как «облегченное ударение» (ὦ). Впрочем, сразу после введения такового обозначения [33, 123] автор явно намекнул, что ему важна только «волнистая черта» и совершенно безразлична форма «смыслового ударения». Он примерно с одинаковой частотой употребляет далее как ὦ, с «тонким придыханием», так и ὧ, с «густым».

А ведь можно было бы подать типологию и ономатологию бесконечностей (как «типов размещения») и несколько тоньше, с прямым учетом эллинской диакритики. Именно, если у Некрасова номинация ὦ (или ὧ, безразлично) использована для обобщения первичного типа *ω + ω, то можно было бы разделить (расщепить) номинации следующим образом: принять ὦ – для обобщения первичного типа ω, тогда как ὧ – для обобщения первичного типа *ω. Направление (ориентация) «запятой» в диакритике будет при этом точно соответствовать различению движений к пределу вправо (для ω) или влево (для *ω). Типология становится еще более элементарной и сущностно-атомарной.

[19] Сейчас по-немецки следовало бы сказать: unendliche Zahlen.

[20] Как ничего не говорит об этой научной заслуге, приписываемой Дюреру, историк математики Г.П. Матвиевская, которая пристально изучала указанное «Руководство», в том числе, и в разделе о свойстве параллельных прямых [35, 107].

[21] Своему знаменитому богословскому рассуждению о бесконечных линиях, которые ведут к демонстрации «актуального бытия Бога», Кузанец не случайно предпосылает особые хвалы в адрес математики (гл. 11) и «математических знаков» (гл. 12) [36, 64–67]. Не могу не прибавить: через пятьсот лет это же рассуждение вдохновит А.Ф. Лосева на блестящее эссе «О форме бесконечности» [37, 510–519], тоже богословское. Летом 1932 г. оно составлено на Беломорканале.

[22] Подробное исследование судьбы этого понятия, как лингвистической, так и философской судьбы, можно найти в [38].

[23] Владимир Бибихин, много размышлявший на темы надписей в Дельфах, в свое время дал специальное разъяснение для буквенно-символической части Плутархова заголовка: «В прописной букве Е, кроме того что при беглом чтении она произносилась в алфавите как ei, подразумевалась еще, чтобы получилось значимое слово, йота подписная, которая появилась бы при написании строчными буквами, и в название своего трактата Плутарх ее спокойно вписывает» [39, 17]. Мне доводилось обсуждать с Владимиром Вениаминовичем смысловые коллизии данной «надписи», в том числе в связи с мелопеей «Человек» Вяч. Иванова, но только тема бесконечности у нас тогда еще не возникала. Жаль.

[24] В.В. Бибихин дает свой перевод трактата по английской версии Moralia, данной F. Bebbitt’ом (1969), от себя добавляя, как минимум, именование Бога и всех обращений к Нему с прописной буквы.



Другие статьи автора: Троицкий Виктор

Архив журнала
№4, 2020№1, 2021№3, 2020№2, 2020№1, 2020№4, 2019№3, 2019№2, 2019№1. 2019№4, 2018№3, 2018№2, 2018№1, 2018№4, 2017№2, 2017№3, 2017№1, 2017№4, 2016№3, 2016№2, 2016№1, 2016№4, 2015№2, 2015№3, 2015№4, 2014№1, 2015№2, 2014№3, 2014№1, 2014№4, 2013№3, 2013№2, 2013№1, 2013№4, 2012№3, 2012№2, 2012№1, 2012№4, 2011№3, 2011№2, 2011№1, 2011№4, 2010№3, 2010№2, 2010№1, 2010№4, 2009№3, 2009№2, 2009№1, 2009№4, 2008№3, 2008№2, 2008№1, 2008№4, 2007№3, 2007№2, 2007№1, 2007
Поддержите нас
Журналы клуба